Физика сплошных сред | страница 21
j=sЕ.
Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем
Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости w, и коэффициент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:
L = Iw.
Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость со и момент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления to и L, вообще говоря, не совпадают (фиг. 31.4).
Фиг. 31.4. Момент количества движения Lтвердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости w.
Они связаны точно таким же образом, как Е и Р, т. е. мы должны писать:
Девять коэффициентов I>ij называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент w>x, w>y и w>z:
Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. I>ij=I>ji.
Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией >1/>2mv>2, а полная кинетическая энергия равна просто сумме
S>1/>2mv>2
по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна
к. э.=S>1/>2m(wX г)>2. (31.18)
Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты w>х, w>y , w>z и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем
