Кинетика. Теплота. Звук | страница 24

Фиг. 40.4. Высоты h достигают только те молекулы, скорость ко­торых на высоте h=0 достаточно велика.

Но почему же на большей высоте меньше молекул? Разве не все молекулы, живущие на высоте 0, появляются на высоте h? Нет! Потому что на высоте 0 есть молекулы, движущиеся слишком медлен­но, и они не способны взобраться на потенциальную гору до высоты h. Вот и ключ к решению задачи о распределении молекул по скоростям; ведь, зная равенство (40.1), мы знаем число молекул, скорость которых слишком мала для достиже­ния высоты h. Их ровно столько, чтобы создать нужное падение плотности при увеличении h.

Давайте сформулируем все поточнее: подсчитаем, сколько молекул проходит снизу вверх через плоскость h=0 (называя заданный уровень нулевой высотой, мы вовсе не считаем, что здесь пол, просто это удобнее нам для начала отсчета, и на отрицательной высоте может находиться газ). Эти молекулы газа движутся во всех направлениях, и некоторые из них про­ходят через нашу плоскость; таким образом, в любой момент сквозь плоскость снизу вверх проходит известное число мо­лекул в секунду с заданной скоростью. Затем отметим следую­щее: если через uобозначить скорость, необходимую для того, чтобы подняться на высоту h (кинетическая энергия mu^>2/2=mgh), то число молекул в секунду, поднимающихся с ниж­ней плоскости строго вверх и имеющих составляющую скорости, большую чем u, в точности равно числу молекул, пересекающих верхнюю плоскость с любой вертикальной составляющей скорости. Те молекулы, вертикальная скорость которых не превышает и, не

достигают верхней плоскости. Таким об­разом,

Но число молекул, пересекающих h с любой скоростью, большей нуля, меньше числа молекул, пересекающих нижний уровень с любой скоростью, большей нуля, хотя бы потому, что внизу больше атомов. Вот и все, что нам нужно. Мы уже знаем, что распределение молекул по скоростям на всех высо­тах одинаково, ведь мы уже выяснили, что температура во всей атмосфере одинакова. Но поскольку распределение ско­ростей всюду одинаково и число атомов, пересекающих нижний уровень, больше, то ясно, что отношение n_>>0(h) (числа ато­мов, пересекающих высоту h с положительной скоростью) и n_>>0(0) (числа атомов, пересекающих с положительной ско­ростью высоту 0) равно отношению плотностей на этих высотах, т. е. ехр(—