Кинетика. Теплота. Звук | страница 16

Рассмотрим, например, двухатомную молекулу, состав­ленную из атомов с массами m_>Аи m_>B. Нам удалось доказать, что движение в центре масс части А и части В таково, что <^>1/_>2m_>Av^>2_>A>=<^>1/_>2m_>Bv^>2_>B> = ^>3/_>2kT. Но как это может быть, если от­дельные части связаны друг с другом? Хотя они и связаны меж­ду собой, но обмен энергией при взаимных вращениях, изме­нении расстояния и соударениях с другими молекулами за­висит только от того, как быстро они движутся. Только этим определяется обмен энергией при соударениях. Сила в каждый отдельный момент не имеет никакого значения. Следовательно, даже если между отдельными частями молекулы действуют силы, верен тот же принцип.

Докажем, наконец, что газовый закон справедлив и в том случае, когда внутреннее движение не учитывается. До сих пор нам не надо было включать внутреннее движение. Мы просто рассматривали одноатомный газ. Но теперь мы покажем, что скорость центра масс любого объекта, который можно рассматривать как тело массы М, равна

^>1/_>2Mv^>2_>ц..м.=^>3/_>2kT. (39.24)

Иначе говоря, можно рассматривать как отдельные части, так и всю молекулу в целом! Посмотрим, почему это можно делать: масса двухатомной молекулы равна М=m_>А+m_>B, а скорость центра масс равна v_>ц.м. =(m_>Av_>A+m_>Bv_>B)/M. Нам нужно теперь определить >2_>ц.м.>. Если возвести в квадрат v_>ц>.>м>., то получится

Умножив это на ^>1I_>2M и усреднив, получим

[Мы воспользовались тем, что (m_>A+m_>B)/М=1.] А чему равно >A·v_>B>? (Хорошо бы, чтобы это было равно нулю!) Чтобы найти это среднее, используем наше предположение, что относитель­ная скорость w=v_>A-v_>b не предпочитает какое-то одно опреде­ленное направление остальным, т. е. средняя составляющая вдоль любого направления равна нулю. Мы предполагаем, следовательно, что

<w·v_>ц.м.>=0.

Но что такое w·v_>ц.м.? Это скалярное произведение, равное

Далее, поскольку <,m_>Av^>2A>= >Bv^>2_>B>, то первый и последний члены взаимно уничтожаются, и мы получаем

(m_>B-m_>A)>A·v_>B>=0.

Итак, если m_>А№m_>B, то >a·v_>в>=0, а это означает, что жест­кому движению всей молекулы, рассматриваемой как одна частица массы М, соответствует средняя кинетическая энергия, равная ^>3/_>2kT.

Одновременно мы доказали, что средняя кинетическая энергия внутреннего движения двухатомной молекулы, если не учитывать движения центра масс, равна