Больцано является предшественником Кантора в создании теории множеств. Кантор высоко оценивает творчество чешского математика, отмечая при этом и его недостатки. «Больцано, — пишет он, — может быть, единственный, у кого собственно бесконечные числа получают определенные права, по крайней мере о них многократно говорится; однако я с ним не согласен как раз в том, как он с ними обращается, не давая им настоящего определения, и считаю, например, § 29–33 этой книги („Парадоксы бесконечного“. — В. К.) беспочвенными и ошибочными. Автору не хватало для настоящей формулировки понятия определенно бесконечных чисел общего понятия множества и точного понятия количества. Хотя оба понятия и выступают у него в отдельных местах в зародыше и в виде частных случаев, однако он не доходит, как мне кажется, до полной ясности и определенности; этим объясняются многие непоследовательности и даже ошибки этого ценного сочинения» (42, 26).
При анализе свойств бесконечного Больцано исходит из диалектики части и целого, формы и содержания. Свойства целого не могут быть теми же, что и свойства частей. Целое приобретает ряд новых свойств, отличных от свойств частей. Больцано различает свойства частей предмета и свойства структуры предмета как целого, т. е. свойства, которые возникают вследствие отношений между частями. Если части не обладают некоторым свойством, то должно ли оно также отсутствовать в целом? По Больцано, каждое целое имеет и должно иметь много таких свойств, которых нет у частей. Автомат имеет свойство подражать движениям живого человека; отдельные же его части — пружины, колеса и пр. — лишены этого свойства (см. 8, 68. 21, 2, 389). Поэтому математические операции с бесконечными величинами должны отличаться от операций с конечными величинами, являющимися частями бесконечных. Правда, Больцано не всегда следует своим в принципе верным положениям и в конкретных примерах неудачно использует правила, действительные в области конечных величин, для операций с бесконечными множествами.
Больцано близко подходит к пониманию мощности множества, к определению бесконечного множества как множества, элементы которого могут находиться во взаимооднозначном соответствии с какой-либо правильной его частью. Он указывает на общий характер открытой еще Галилеем связи однозначного соответствия двух рядов чисел 1, 2, 3, 4…; 1, 4, 9, 16…, не замечаемой, по его словам, до сих пор математиками.
Существенным недостатком больцановского учения о бесконечности является неверное объяснение им отношения между математической бесконечностью и бесконечностью реального мира. Признание дуализма мира существующих вещей и неизменной сферы истин-в-себе исключало возможность единственно правильной точки зрения — признания того, что в понятиях математической бесконечности объективная, реальная бесконечность отражается лишь приблизительно, грубо. Поэтому Больцано нередко путает онтологическое с математическим, логическую возможность с действительностью. Это и явилось одной из причин того, что он не сумел четко отделить интенсиональное, содержательное рассмотрение бесконечности в математике от экстенсионального.
