Бернард Больцано | страница 73



Ранее уже приводилось доказательство Больцано существования бесконечного множества истин, которое основывалось на утверждении существования хотя бы одной истины. Мыслитель говорит о двух типах бесконечного — в области несуществующего, среди истин- и предложений-в-себе и в действительном мире. Доказательство того, что в сфере логических и математических объектов существует бесконечное, молчаливо предполагается действительным и для реальных субстанций, их состояний и свойств. Историки математики нередко осуждающе относятся к смешению философски-спекулятивного и математического подходов в работах Больцано. По-видимому, это не совсем справедливо, ведь правильные философские, методологические основания помогли мыслителю сделать ряд научных открытий или близко подойти к ним.

Вместе с Лейбницем Больцано отстаивает в математике актуально бесконечное, подробно разбирая недостатки понимания бесконечного рядом математиков и философов. К гегелевскому определению бесконечного он относится двояко. Когда Гегель пренебрежительно говорит о так называемой дурной бесконечности, Больцано с ним согласен: «Если… Гегель, Эрдман и другие представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании… то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности» (8, 12). Но Гегель и его последователи рассматривают бесконечное только как качественное бесконечное и находят его в боге, в абсолютной идее. Больцано совершенно правильно замечает, что количественная и качественная бесконечности существуют в единстве: «Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой-либо предмет, которому он был бы вправе приписывать свою бесконечность как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества» (там же, 13). Заметим, что человек в процессе познания начинает с исследования качественной стороны предметов. Это соответствует движению познания от чувственного к логическому. Что касается бесконечного, то его исследование предполагает уже довольно высокую степень развития абстрактного, теоретического мышления, поэтому Больцано прав, говоря, что количественные характеристики бесконечного обнаруживаются прежде, чем качественные.

Больцано считает, что определение многими математиками бесконечного как предела изменения величины неверно. Ноль, например, не может рассматриваться как бесконечно малая величина. Неверно, по мнению философа, и определение, которое дает Спиноза, ибо оно слишком узко. Для Спинозы бесконечным является только то, что не способно к дальнейшему увеличению. Но ведь математик не только прибавляет к бесконечной величине конечную, но может производить над бесконечными величинами различные операции: прибавляет к одной бесконечной величине другую, умножает их и т. д.