Расследование и предупреждение техногенных катастроф. Научный детектив | страница 38



4. Пакеты прикладных программ обязательно включают в себя программы вычисления решений систем линейных алгебраических уравнений различных порядков, поскольку к необходимости решать такие системы приводят очень многие практические задачи.

Простейшие системы уравнений — такие, например, как система

1,02х + у = 1,04                                                                                              (22)

Х + У = 1                                                                                                        (23)

легко решаются вручную, но в практических задачах часто приходится иметь дело с системами, состоящими из двадцати, сорока и более уравнений, и здесь уже без компьютера и хорошей программы не обойтись. Применяемые программы решения систем уравнений, входящие в пакеты, используют, как правило, преобразования уравнений. Поскольку эти преобразования, разумеется, эквивалентны, то они позволяют вычислить правильные, истинные значения решений. Но многие важные свойства решений и в том числе — чувствительность решений к неизбежной ограниченной точности исходных данных — использованные эквивалентные преобразования могут изменить. Все это удобно показать на простом примере системы уравнений (22)—(23), решениями которой являются числа х = 2, у = -1 (что легко проверить подстановкой х = 2, у = — 1 в уравнения (22)—(23)).

Систему (22)—(23) — как и любые другие — удобно решать путем эквивалентных преобразований. Достаточно вычесть из уравнения (22) уравнение (23). Получим уравнение

0,02х = 0,04                                                                                                      (24)

не содержащее уже переменной у, которое вместе с уравнением (23) образует систему

Х + У = 1                                                                                                            (25)

0,02х = 0,04                                                                                                       (26)

Система (25)—(26) эквивалентна исходной системе (22)—(23), но решается гораздо проще: из (26) сразу следует х = 2, а подставив х = 2 в (25), получим у — — 1. Отметим, что тем же путем последовательного исключения переменных путем эквивалентных преобразований решают (следуя методу Гаусса) и системы, состоящие из большого числа уравнений. Просто число необходимых преобразований и вычислений очень быстро растет с ростом числа уравнений в системе, и поэтому для решения больших систем, часто встречающихся при проектировании, требуются компьютеры.