), тогда как нам нужна возможность представления всех натуральных чисел. Поэтому мы воспользуемся следующим несложным приемом — будем удалять последнюю единицу (которая принимается просто за маркер, обозначающий конец выражения) и считывать оставшуюся часть как двоичное число
[46]. Тогда в последнем примере получим двоичное число
11011100,
которое соответствует десятичному числу 220. Эта процедура имеет то преимущество, что нуль также представляется непустой лентой, а именно:
… 0000001000000….
Рассмотрим, как действует машина Тьюринга T>n на некоторую (конечную) строку нулей и единиц на ленте, которая подается в устройство справа. Удобно рассматривать эту строку как двоичное представление некоторого числа, например m, в соответствии с приведенной выше схемой. Предположим, что после определенного числа шагов машина T>n в конце концов останавливается (т. е. доходит до команды STOP). Строка двоичных цифр, которые машина выписала к этому моменту на левой части ленты, и будет искомым результатом вычислений. Считывая эту последовательность в соответствии с той же схемой так же как двоичное представление некоторого числа, получим новое число, скажем, р. Тогда мы можем записать соотношение, выражающее тот факт, что результатом действия n-й машины Тьюринга T>n на число m является число p, следующим образом:
T>n(m)=p .
Взглянем на это соотношение с несколько иной точки зрения. Мы будем считать, что это выражение описывает некоторую специфическую операцию, которая применяется к паре чисел m и n для того, чтобы получить p. (Это означает: для заданных двух чисел n и m мы можем найти значение p, если введем m в n-ю машину Тьюринга.) Эта специфическая операция является полностью алгоритмической. Поэтому она может быть выполнена одной конкретной машиной Тьюринга U; иными словами, U, совершая действие над парой(n, m ), дает в результате p. Поскольку машина U должна производить операцию над обоими числами n и m, чтобы получить ответ, выражаемый одним числом p, то нам нужно придумать способ для записи пары (n, m) на одной ленте. С этой целью предположим, что n записывается в стандартной двоичной форме и заканчивается последовательностью 111110. (Вспомним, что двоичный номер всякой корректно определенной машины Тьюринга, — это последовательность символов, состоящая только из сочетаний вида 0, 10, 110, 1110 и 11110, поэтому он нигде не содержит более четырех единиц подряд. Таким образом, если
