Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление | страница 45
Функция f(х) является функцией второй степени:
f(х) = kx (1 — х) = kx — kx>2.
Иными словами, f(х) — нелинейная функция, и именно эта нелинейность делает возможным хаотическое поведение: в силу нелинейности небольшие отклонения начальных условий могут приводить к значительным изменениям.
Изучим динамику логистического отображения для значений k, меньших критического, к примеру для k = 2. Примем в качестве начального условия x>0 = 0,8 и определим его орбиту с помощью калькулятора:
x>1 = f(х>0) = 2 х>0(1 — х>0) = 2∙0,8∙(1 — 0,8) = 2∙0,8∙0,2 = 0,32
х>2 = f(х>1) = 2х>1(1 — х>1) = 2∙0,32∙(1 — 0,32) = 2∙0,32∙0,68 = 0,4352
х>3 = f(х>2) = 2х>2(1 — х>2) = 2∙0,4352∙(1 — 0,4352) = 2∙0,4352∙0,5648 = 0,49160192.
Теперь, когда мы знаем, как рассчитываются первые члены орбиты, вычислим
следующие члены напрямую:
х>4 = 0,4998589…
х>5 = 0,4999998…
х>6 = 0,4999999…
…
Обратите внимание на полученные значения. Что вы видите? Они последовательно приближаются к 0,5. Рассматриваемая траектория четко приближается к пределу — точечному аттрактору, расположенному в точке 0,5. Ради любопытства вычислим орбиту точки 0,5: так как f (0,5) = 2∙0,5∙(1 — 0,5) = 22424∙0,5∙0,5 = = 0,5, орбита этой точки будет стационарной (значения функции всегда будут равны 0,5). Следовательно, орбита точки 0,8 сходится к точке равновесия.
Рассмотрим, как наша траектория сходится к этой фиксированной точке, геометрически. Используем компьютерную программу, чтобы показать, как изменяются значения орбиты (представленные на вертикальной оси) с ростом числа итераций (откладываются на горизонтальной оси).
Нетрудно видеть, что значения орбиты очень быстро стабилизируются в окрестности точки 0,5, что мы уже вычислили при помощи калькулятора.
Далее будем изображать орбиту точки на так называемой диаграмме-паутине.
Построив график f(х) = 2х (1 — х) (он будет представлять собой параболу, так как f(х) — функция второй степени), рассмотрим начальное условие x>0 = 0,8. Далее определим орбиту этой точки графически. Проведем вертикальную линию через точку с абсциссой x>0 = 0,8 до пересечения с параболой — графиком функции f(x).
Затем из точки пересечения этой линии с параболой проведем горизонтальную линию до пересечения с диагональю у = х. Полученная абсцисса (координата на горизонтальной оси) будет указывать положение точки пересечения построенной линии с диагональю и будет соответствовать х>1 Далее будем смещаться вертикально (вверх или вниз), пока вновь не пересечем график
