Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление | страница 40
где f — функция, описывающая, как вычисляется х>n+1 на основе х. Иными словами, эта функция указывает, как вычислить х>1 через x>0, х>2 через х>1, х>3 через х>2 и так далее.
Уравнение в конечных разностях — это формула, выражающая значение переменной на следующем шаге через ее значение на предыдущем шаге. Так, для данного начального условия x>0 решением динамической системы будет траектория {x>0, х>1, x>2, х>3 …}. Чтобы получить ее, нужно применить f к х>0 некоторое число раз.
В непрерывных динамических системах время не принимает набор фиксированных значений, а течет непрерывно, как и в реальном мире. Непрерывные динамические системы описываются дифференциальными уравнениями, подобными приведенным в предыдущих главах. Дифференциальные уравнения — это формулы, выражающие скорость измерения переменной в зависимости от ее текущего значения.
В математическом анализе хаоса мы для простоты будем рассматривать дискретные динамические системы, так как они позволят вам понять суть вопроса.
Существует теорема, согласно которой непрерывная динамическая система будет хаотической тогда и только тогда, когда существует такое сечение Пуанкаре, что в нем можно определить дискретную динамическую систему, которая также будет хаотической.
Существует особый класс дискретных динамических систем, обладающих очень важной характеристикой: эти системы являются нелинейными. Система называется линейной, если функция f является линейной, то есть функцией первой степени, следовательно, имеет вид f(х) = ах + Ь. Если же функция f нелинейная (то есть ее степень больше 1) и, к примеру, имеет вид f(х) = ах>2 + Ьх + с, то такая система считается нелинейной.
Несмотря на то что в нелинейных динамических системах значения величин, характеризующих систему, определяются значениями величин в предыдущий момент времени (такая система называется детерминированной), выходные значения непропорциональны входным. Микроскопические изменения в начальных условиях могут вызвать значительные изменения конечного состояния системы. Именно эта несоразмерность между причинами и следствиями объясняет, почему поведение подобных систем столь разнообразно: некоторые из них описывают фиксированные точки, периодические, квазипериодические и, наконец, хаотические орбиты.
