Пусть K — утверждение о том, что говорящий — рыцарь. По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K — истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий — лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий — рыцарь или лжец, P должно быть истинно.
Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109–112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Если я рыцарь, то P», то мы можем заключить, что он рыцарь и что P истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение «Я рыцарь в том и только в том случае, если P», то мы можем заключить, что P истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.
123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.
Пусть G — утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а K — утверждение о том, что A — рыцарь. Отвечая на ваш вопрос отрицательно, A тем самым заявляет, что G не эквивалентно K. Предположим, что A — рыцарь. Тогда G действительно не эквивалентно K. Так как A — рыцарь, то K. истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению K, должно быть ложным.
С другой стороны, предположим, что A — лжец. Тогда G в действительности эквивалентно K (поскольку лжец сказал, что G и K не эквивалентны). Но K — ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению K. Таким образом, независимо от того, кто такой A — рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.
Примечание. Из двух последних задач (122 и 123) следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по «рыцарям и лжецам». Предположим, что P — любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) известно подлинное значение истинности высказывания P. Тогда, задав носителю знаний один-единственный вопрос, вы можете установить, истинно P или ложно. Достаточно спросить: «Эквивалентно ли высказывание „вы рыцарь“ высказыванию „P истинно“?» Получив утвердительный ответ, вы поймете, что P истинно. Получив отрицательный ответ, вы будете знать, что P ложно.
