Все четыре случая мы сведем в одну таблицу, называемую таблицей истинности для импликации:
(В «нормальной» таблице истинности вместо букв И и Л используют сокращения 0 — ложно и 1 — истинно — SStas)
Три буквы И, И, И (истинно, истинно, истинно) в первой строке означают, что когда P истинно и Q истинно, высказывание P ⇒ Q истинно. Буквы И, Л, Л во второй строке означают, что если P истинно, Q ложно, то P ⇒ Q истинно, а буквы Л, Л, И в четвертой строке — что если P ложно и Q ложно, то P ⇒ Q истинно.
Заметим, что P ⇒ Q истинно в трех из четырех случаев и ложно только во втором случае.
Еще одно свойство импликации. Импликация обладает еще одним важным свойством. Чтобы доказать истинность высказывания «Если P, то Q», достаточно, приняв высказывание P за посылку, убедиться в том, что из него следует высказывание Q. Иначе говоря, если из посылки P следует заключение Q, то высказывание «Если, то Q» истинно.
В дальнейшем мы будем ссылаться на это свойство импликации, как на факт 4.
А. Применение импликации к рыцарям и лжецам
109. О каждом из двух людей A и B известно, что он либо рыцарь, либо лжец. Предположим, что A высказывает следующее утверждение: «Если я рыцарь, то B — рыцарь».
Можно ли определить, кто такие A и B: кто из них рыцарь и кто лжец?
110. У A спрашивают: «Вы рыцарь?» Тот отвечает: «Если я рыцарь, то съем собственную шляпу».
Докажите, что A придется съесть свою шляпу.
111. A утверждает: «Если я рыцарь, то дважды два — четыре». Кто такой A: рыцарь или лжец?
112. A заявляет: «Если я рыцарь, то дважды два — пять». Кто, по-вашему, A: рыцарь или лжец?
113. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. А заявляет: «Если B — рыцарь, то я лжец». Кто A и кто B?
114. Двух человек X и Y судят за участие в ограблении, A и B выступают на суде в качестве свидетелей. Относительно A и B известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец. В ходе судебного заседания свидетели выступили со следующими заявлениями:
A: Если X виновен, то Y виновен.
B: Либо X не виновен, либо Y виновен.
Можно ли утверждать, что A и B однотипны? (Напомним, что двух обитателей острова рыцарей и лжецов мы называем однотипными, если они оба рыцари либо оба лжецы.)
115.
У трех обитателей A, B и C острова рыцарей и лжецов взяли интервью, в ходе которого они высказали следующие утверждения:
A: B — рыцарь.
B: Если A — рыцарь, то C — рыцарь.
Можно ли определить, кто из A, B и C рыцарь и кто лжец?
