Синергетика. Основы методологии | страница 27

где А_>1+А_>2+…+ А_>n = Ω и В — произвольная совокупность исходов, и формулу Байеса:

Введение вектора α = {α_>1}, где α_>i =Υр_>i, позволяет вместо некоторой аддитивной меры, рассматривать метрический вектор единичной длины в евклидовом пространстве. В этом случае вся изложенная выше теория может быть переформулирована в терминах амплитуды вероятности.

Каждому множеству А из ξ(Ω) может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Аp(А). Это число называется амплитудой вероятности реализации совокупности исходов А. Оно определяется как корень квадратный из суммы квадратов амплитуд вероятности элементарных исходов, входящих в А:

где i_>k — номера элементарных исходов, входящих в совокупность А_>j. Ар(Ω) = 1. Если А и B не пересекаются, то [Ap(A+B)]^>2 =[Ар(А)]^>2 + [Ар(В)]^>2.

Каждому множеству А_>j, состоящему из m_>j элементарных исходов бифуркационного события, соответствует некоторый m_>j-мерный евклидов вектор Ар(А_>j) = {a_>jk} k = 1,…,m_>j, модуль которого равняется

При этом разложение множества А_>j на сумму взаимно не пересекающихся множеств эквивалентно разложению вектора

на сумму взаимно ортогональных векторов, каждый из которых имеет координаты, равные амплитудам элементарных событий, входящим в множество, которое он характеризует, е_>j — орт координаты, характеризующей i-й элементарный возможный исход бифуркационного события.

Формула Байеса переписывается в терминах амплитуды вероятностей следующим образом:

Пусть дана однозначная функция s(ω) исхода бифуркационного события ω. Тогда функция Р_>s, определённая формулой Р_>s(А) = Р{s_>-1(A)}называется вероятностной функцией s, а функция АР_>s амплитудой вероятностной функции s.

Функция F_>s (S) = Р_>s (-бесконечность, S) = Р {s(ω) < S} называется функцией распределения случайной величины s.

Если свойства состояний системы являются периодическими функциями от s, с периодом h, то назовём величину s действием и вместо величины s введём спиральную переменную, путём отображения прямой линии s на цилиндрическую круговую спираль с основанием цилиндра единичного радиуса.

Точка на этой спирали может быть описана спиральным комплексным числом с единичным модулем e^>2ms/h. Проекцией каждого такого числа на комплексную плоскость является точка на окружности единичного радиуса, описываемая алгебраическим комплексным числом e ^>iθ.

Как величина действия s. так и величина периода действия h, могут быть приняты в качестве параметра целого при исследовании системы на ранних стадиях.