Математика для любознательных | страница 52
Задача 2-я. Исходя из расположения, показанного на схеме II, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (см. чертеж).
К задаче 2-й.
Задача 3-я. Исходя из расположения схемы II, поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения чертежа.
К задаче 3-й.
Задача 4-я. Передвижением шашек превратите коробку в «магический квадрат», а именно, разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30.
Расположение зад. 2-й может быть получено из начального положения следующими 44 ходами.
14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7,
4, 3, 6, 4, 7, 14, 11, 15, 13, 9,
12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13,
9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14,
10, 6, 2, 1.
Расположение зад. 3 достигается следующими 39 ходами:
14, 15, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9,
5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13,
9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14,
13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.
Магический квадрат с суммою 30 получается ряда ходов:
12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15,
14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8,
4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6,
5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13,
14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.
Приведем замечание немецкого математика Шуберта о числе возможных задач при «игре в 15».
«Сколько всего возможно задач; т. е. сколько различных расположений можно дать 15 шашкам, причем каждый раз пустое поле расположено справа внизу? Чтобы определить, сколько перестановок можно получить с помощью 15 предметов, начнем с 2-х предметов: а и b. Они могут дать лишь две перестановки, именно - ab и Ьа. При трех предметах имеется уже втрое больше перестановок, т. е. 6, так как предмет а может быть поставлен перед Ьс и перед cb, и кроме того, имеются еще две перестановки, начинающиеся с b, и две начинающиеся с с. Отсюда можно заключить, что четыре предмета а, b, с, d могут дать вчетверо большее число различных перестановок, т. е. 4x3x2 = 24 перестановки. Продолжая так, можно найти, что 15 шашек допускают всего
2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x13x14x15
перестановок. Вычислив это произведение, мы найдем для числа задач игры внушительное число:
1 биллион 307674 миллиона 368000».
Из этого огромного числа задач ровно половина принадлежит к разрешимым и столько же - к неразрешимым. Заметим еще, что если бы возможно было ежесекундно давать шашкам новое положение, то чтобы перепробовать всевозможные расположения, потребовалось бы, при непрерывной работе круглые сутки, - свыше 40.000 лет.
