Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 71

69. Спички следует расположить, как показано слева на рис. 112; площадь этой фигуры равна учетверенной площади «спичечного» квадрата.

Как в этом удостовериться?

Дополним мысленно нашу фигуру до треугольника. Получится прямоугольный треугольник, основание которого равно 3, а высота 4 спичкам[25]. Площадь его равна половине произведения основания на высоту:

т. е. 6 квадратам со стороною в одну спичку. Но наша фигура имеет, очевидно, площадь, которая меньше площади треугольника на 2 «спичечных» квадрата и равна, следовательно, 4 таким квадратам.

Рис. 111

Рис. 112

Рис. 113

70. Можно доказать[26], что среди всех фигур с одинаковым обводом наибольшую площадь имеет круг. Из спичек, конечно, не сложить круга; однако можно составить из 8 спичек фигуру (рис. 113), всего более приближающуюся к кругу - это правильный восьмиугольник. Правильный восьмиугольник и есть фигура, удовлетворяющая требованию нашей задачи: она имеет наибольшую площадь. Эта задача приводит на память легендарную историю основателя Карфагена. Дидона, дочь финикийского царя, гласит предание, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку и высадилась со многими финикийцами на северном ее берегу. Здесь Дидона купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря подобной уловке отхватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, вокруг которой впоследствии вырос город.

Прикинем, какая примерно площадь могла быть захвачена хитростью Дидоны. Если поверхность воловьей шкуры была равна 4 кв. м, т. е. 4 000 000 кв. мм, а ширина ремней 1 мм, то общая длина вырезанных ремней достигала 4 000 000 мм, или 4 км. Ремнем такой длины можно охватить квадратный участок площадью в 1 кв. км. Но Дидона получила бы еще больше земли, если бы окружила ремнем круглый участок (около 1,3 кв. км).

71. Для решения задачи развернем боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру: получим прямоугольник (рис. 114), высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, т. е. 10 х 3^>1/ _>7 = 31^>1/_>2 см (без малого). Наметим на этом прямоугольнике положения мухи и медовой капли. Муха - в точке А, на расстоянии 17 см от основания; капля - в точке В, на той же высоте и на расстоянии полуокружности банки от А, т. е. в 15