Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 56
Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко: можем
1) поместить В позади пары,
2)» В впереди пары,
3)» В между вещами пары.
Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары - АБ и БА, то всех способов разместить вещи наберется
2x3 = 6.
Рис. 83. Две вещи можно разместить только двумя способами
Рис. 84. Три вещи можно разместить шестью способами
Способы эти показаны на рис. 84.
Пойдем дальше - сделаем расчет для 4 вещей. Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В, и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г; ас остальными тремя сделаем все возможные перестановки.
Мы знаем уже, что число этих перестановок - 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя: можно
1) поместить Г позади тройки;
2)» Г впереди тройки;
3)» Г между 1-й и 2-й вещью;
4)» Г между 2-й и 3-й вещью.
Всего получим, следовательно,
6 х 4 = 24 перестановки;
а так как 6 = 2 х 3 и 2 = 1 х 2, то число всех перестановок можно представить в виде произведения:
1 x 2 x 3 x 4 = 24.
Рассуждая таким же образом в случае 5 предметов, узнаем, что для них число перестановок равно
1 х 2 х З х 4 х 5 = 120.
Для 6 предметов:
1 х 2 х З х 4 х 5 х 6 = 720 и т. д.
Обратимся теперь к случаю с 10 обедающими. Число возможных здесь перестановок определится, если дать себе труд вычислить произведение
1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 х 8 х 9 х 10.
Тогда и получится указанное выше число 3 628 800.
Расчет был бы сложнее, если бы среди 10 обедающих было 5 девушек и они желали бы сидеть за столом непременно так, чтобы чередоваться с юношами. Хотя число возможных перемещений здесь гораздо меньше, вычислить его несколько труднее.
Пусть сядет за стол - безразлично как - один из юношей. Остальные четверо могут разместиться, оставляя между собою пустые стулья для девушек, 1 х 2 х З х 4 = = 24 различными способами. Так как всех стульев 10, то первый юноша может сесть 10 способами; значит, число всех возможных размещений для молодых людей 10 х 24 = 240.
Сколькими же способами могут сесть на пустые стулья между юношами 5 девушек? Очевидно, 1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 120 способами. Сочетая каждое из 240 положений юношей с каждым из 120 положений девушек, получаем число всех возможных размещений:
240 х 120 = 28 800.
Число это во много раз меньше предыдущего и потребовало бы всего 79 лет (без малого). Доживи молодые посетители ресторана до столетнего возраста, они могли бы дождаться бесплатного обеда если не от самого официанта, то от его наследников.
