Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 44

Рис. 61. В половине одиннадцатого все жители города осведомлены о новости, которая в 8 ч утра того же дня была известна лишь одному человеку

Еще спустя четверть часа будет осведомлено уже больше половины города:

9841 + (3 х 6561) = 29 524.

И, значит, к половине одиннадцатого того же дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 ч утра известна была только одному человеку.

Проследим теперь, как выполнен был предыдущий подсчет. Он сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:

1 + 3 + (3 х 3) + (3 х 3 х 3) + (3 х 3 х 3 х 3) и т. д.

Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы раньше сумму чисел ряда 1+2 + 4 + 8 и т. д.?

Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:

1 = 1

3 = 1 х 2 + 1

9 = (1 + 3) х 2 + 1

27 = (1 + 3 + 9) х 2 + 1

81 = (1 + 3 + 9 + 27) х 2 + 1

и т. д.

Иначе говоря, каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел плюс единица.

Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел нашего ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув в последнем числе единицу).

Например, сумма чисел

1 + 3 + 9 + 27 + 81 +243 + 729

равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.

В нашем случае каждый житель, узнавший новость, передавал ее только трем гражданам. Но если бы жители города были еще разговорчивее и сообщали услышанную новость не 3, а, например, 5 или даже 10 другим, слух распространялся бы, конечно, гораздо быстрее. При передаче, например, пятерым картина осведомления города была бы такая:

Ранее чем в 9 ^>3/_>4 ч утра новость будет уже известна всему 50-тысячному населению города.

Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10 другим. Тогда получим такой любопытный, быстро возрастающий, ряд чисел:

Следующее число этого ряда, очевидно, есть 111 111. Это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!

В дореволюционные годы были у нас - а за рубежом, вероятно, и теперь еще находятся - предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества. Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:

Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.