Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 43
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 и т. д.
Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:
1 = 1
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1
32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1
и т. д.
Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32 768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32 768) сумму всех предыдущих, иначе сказать, прибавляем то же последнее число без единицы (32 768-1). Получаем 65 535.
Этим способом можно подсчитать убытки нашего миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз.
Его последний платеж был 5 368 709 руб. 12 коп. Поэтому, сложив 5 368 709 руб. 12 коп. и 5 368 709 руб. 11 коп., получаем сразу искомый результат: 10737418 руб. 23 коп.
Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали.
Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.
Однако если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.
В провинциальный город с 50-тысячным населением приехал в 8 ч утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
Итак, в 8 >1/>4 ч утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям. Узнав интересную новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало, допустим, также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 х 3) = 13 человек.
Рис. 60. Житель столицы привез интересную новость…
Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что в 8 >3/>4 утра новость стала известна
13 + (3 х 9) = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50 000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
