Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 39

Как видите, ни один номер не повторяется.

Понять систему расположения цифр в квадрате рис. 54 нетрудно. Он делится поперечными линиями на 4 меньших квадрата, которые обозначим для удобства римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 55) - В I квадрате клетки перенумерованы в обычном порядке. Квадрат II- тот же квадрат I, только повернутый на четверть оборота вправо. Повернув его еще на четверть оборота, получаем квадрат III; при следующей четверти оборота получается квадрат IV.

Рис. 54. Свыше 4 миллиардов секретных решеток в одном квадрате

Рис. 55

Подсчитаем теперь математически, сколько может существовать разных решеток. Клетку № 1 можно взять (в качестве окошка) в 4 местах. В каждом случае можно присоединить клетку № 2, взяв ее также в 4 местах. Следовательно, два окошка можно наметить 4 х 4, т. е. 16 способами. Три окошка - 4 х 4 х 4, т. е. 64 способами. Рассуждая таким образом, устанавливаем, что 16 окошек можно набрать 416 способами (произведение 16 четверок). Число это превышает 4 миллиарда. Если даже считать наш расчет преувеличенным на несколько сот миллионов (так как неудобно пользоваться решетками с примыкающими друг к другу окошечками, и эти случаи надо исключить), то все же остается несколько тысяч миллионов решеток - целый океан, в котором нет надежды отыскать именно ту, какая требуется. Полиции не одолеть такого числового великана.

Само собою разумеется, оба участника переписки должны быть начеку, чтобы их решетка не попала в посторонние руки. Лучше всего вовсе не хранить решеток, а вырезывать их при получении письма и уничтожать тотчас по прочтении. Но как запомнить расположение окошек? Здесь снова приходит нам на помощь математика.

Будем обозначать окошки цифрою 1, прочие же клетки решетки - цифрою 0. Тогда первый ряд клеток решетки получит такое обозначение (рис. 56):

01010010

или, отбросив передний нуль, -

1010010.

Рис. 56. Арифметизация секретной решетки

Второй ряд, если отбросить в нем передние нули, обозначится так:

1000.

Прочие ряды получают следующие обозначения:

10100010

10000

1000100

10001000

100010

10001.

Чтобы упростить запись этих чисел, будем считать, что они написаны не по десятичной системе, которой обычно пользуются, а по двоичной. Это значит, что единица, стоящая справа, больше соседней не в 10 раз, а только в 2 раза. Единица в конце числа означает, как обычно, простую единицу; единица на предпоследнем месте означает двойку; на третьем с конца - четверку; на четвертом - восьмерку; на пятом - 16 и т. д. При таком понимании число 1010010, обозначающее расположение окошек первого ряда, заключает простых единиц: