А ну-ка, догадайся! | страница 25

(2 х 1048576) — 1 = 2097151.

Этот трюк применим к любой частичной сумме последовательностей, каждый член которой (начиная со второго) вдвое больше предыдущего. Существует весьма простое доказательство того, что это правило работает без «осечек». Предоставляем нашим читателям самостоятельно найти это доказательство.

_{>У числа 9 немало загадочных свойств. Знаете ли бы, например, что оно незримо присутствует в дате рождения любой знаменитости?}

_{>Взять хотя бы Джорджа Вашингтона. Он родился 22 февраля 1732 г. Запишем дату его рождения как одно число: 2221732, переставим цифры в любом порядке и из большего числа вычтем меньшее.}

_{>Сложив все цифры разности, мы получим 36; а 3 плюс 6 равно 9!}

_{>Проделайте то же самое с датами рождения Джона Кеннеди (29 мая 1917 г.), Шарля де Голля (22 ноября 1890 г.) или любой другой знаменитости, и вы всегда получите 9. Существует ли некая таинственная связь между девяткой и датами рождения знаменитостей?}

_{>Скрыта ли девятка в дате вашего рождения?}

Сложим цифры любого числа, затем цифры получившейся суммы и будем продолжать эту операцию до тех пор, пока не получится однозначная сумма, которая называется цифровым корнем исходного числа. Цифровой корень числа равен остатку от деления его на 9, поэтому описанную выше процедуру иногда называют «вычеркиванием девяток». (Подробнее о цифровых корнях см. мою статью «Цифровые корни».)[7]

Цифровой корень вычисляется особенно быстро, если вычеркивание девяток производить непосредственно в процессе сложения цифр. Например, если первые две цифры числа равны соответственно 6 и 8, то их сумма равна 14. Сумма цифр этой суммы равна 1 +4 = 5, поэтому мы можем сразу же вычеркнуть, или отбросить, девятку и запомнить только 5. Иначе говоря, всякий раз, когда частичная сумма ставится двузначной, следует заменять ее суммой цифр.

Последняя однозначная сумма и будет цифровом корнем исходного числа. Математики сказали бы, что цифровой корень сравним с исходным числом по модулю 9. Так как остаток от деления числа 9 на 9 равен 0, то в арифметике вычетов (остатков) по модулю 9 числа 9 и 0 эквивалентны.

До появления вычислительных машин арифметику вычетов по модулю 9 часто использовали для проверки сложения, вычитания, умножения и деления больших чисел. Пусть, например, мы вычитаем из числа А число В и находим разность С. Наши вычисления можно проверить: взять цифровой корень числа А, вычесть из него цифровой корень числа