А ну-ка, догадайся! | страница 14
>Где-то в списке скучных людей числится самый скучный человек в мире.
>Но именно этим он и интересен, поэтому мы должны вычеркнуть его из списка скучных людей и занести в список интересных людей.
>М-р Скучмен. Благодарю вас. Но теперь в списке скучных людей где-то затерялся самый скучный человек среди оставшихся, который этим и интересен. Так постепенно каждый скучный человек станет интересным. Станет ли, как вы думаете?
Этот забавный парадокс представляет собой вариант «доказательства» того, что каждое положительное целое число чем-то интересно. Впервые оно было опубликовано Эрвином Ф. Бекенбахом в заметке «Интересные целые числа» в апрельском номере журнала American Mathematical Monthly за 1945 г.
Верно ли такое «доказательство» и не таит ли оно в себе логической ошибки? Не перейдет ли снова в разряд скучных человек, чье имя было первым включено в список интересных людей и вычеркнуто из списка скучных людей после того, как список интересных людей пополнится вторым среди самых скучных людей? Можно ли придать какой-то смысл утверждению о том, что каждый человек интересен, поскольку он является самым скучным из людей, образующих определенные множества, подобно тому как каждое целое число является наименьшим числом в определенных множествах чисел? Если все люди (или числа) интересны, то не утрачивает ли от этого смысл прилагательное «интересный»?
>Парадоксы, связанные со значениями истинности, называются семантическими, парадоксы, связанные с множествами каких-то объектов, — теоретико-множественными. Оба типа парадоксов тесно связаны.
Соответствие между семантическими и теоретико-множественными парадоксами проистекает из того, что любое истинное или ложное утверждение можно представить в виде некоего утверждения о множествах и наоборот. Например, утверждение «Все яблоки красные» означает, что множество всех яблок содержится в множестве всех красных предметов. На языке высказываний, относительно которых можно утверждать, что они истинны или ложны, это переводится так: «Если верно, что х — яблоко, то верно, что х красного цвета».
Рассмотрим утверждение парадокса лжеца «Это утверждение ложно». В переводе на теоретико-множественный язык оно звучит так: «Это утверждение есть элемент множества всех ложных утверждений».
Если «это» утверждение действительно принадлежит множеству всех ложных утверждений, то то, о чем оно говорит, — правда и, следовательно, оно не может принадлежать множеству всех ложных утверждений.
