А ну-ка, догадайся! | страница 13

Более радикальное решение состоит в том, чтобы запретить в теории множеств рассматривать множества, содержащие себя.

_{>Что вы скажете об астрологе, составляющем гороскопы тем и только тем астрологам, которые не составляют себе гороскопов сами? Кто составляет гороскоп такому астрологу?}

_{>Что вы скажете о роботе, ремонтирующем те и только те роботы, которые не ремонтируют себя сами? Кто ремонтирует такой робот?}

_{>А что вы скажете о каталоге, содержащем сведения о тех и только тех каталогах, которые не включают ссылок на самих себя? В каком каталоге можно найти ссылку на такой каталог?}

Все это — различные варианты парадокса Рассела.

В каждом случае множество S по определению содержит те и только те объекты, которые не находятся в определенном отношении R к себе. Парадокс становится очевидным при попытке ответить на вопрос, принадлежит ли множество S самому себе. Приведем еще три классические вариации на эту тему.

1. Парадокс Греллинга назван в честь открывшего его немецкого математика Курта Греллинга. Разделим все прилагательные на два множества: самодескриптивные, обладающие тем свойством, которое они выражают, и несамодескриптивные. Такие прилагательные, как «многосложное», «русское» и «видимое», принадлежат к числу самодескриптивных, а такие прилагательные, как «односложное», «немецкое» и «невидимое», — к числу несамодескриптивных. К какому из двух множеств принадлежит прилагательное «несамодескриптивнсе»?

2. Парадокс Берри назван в честь библиотекаря Оксфордского университета Дж. Дж. Берри, который сообщил его Расселу. В парадоксе Берри речь идет о «наименьшем целом числе, которое не может быть задано менее чем тринадцатью словами». Выражение, взятое в кавычки, содержит 12 слов. Какому множеству принадлежит определяемое им выражение: множеству целых чисел, которые на русском языке задаются менее чем 13 словами, или множеству целых чисел, задаваемых на русском языке 13 и более словами? Любой из двух ответов приводит к противоречию.

3. Философ Макс Блэк сформулировал парадокс Берри примерно так. В этой книге упоминаются различные целые числа. Сосредоточим наше внимание на наименьшем целом числе, которое ни прямо, ни косвенно не упоминается в этой книге. Существует ли такое число?

_{>Одни люди интересные, другие скучные.}

_{>Мы составили два списка. В один внесли всех скучных людей, в другой — всех интересных людей.}