Из числа разнообразных математических методов наибольшее значение для решения физических задач имели диференциальные уравнения в частных производных. Собственно говоря, математическая физика исчерпывалась пятью-шестью типами таких уравнений, но решение их равносильно решению той или иной физической проблемы и представляет значительные математические трудности. Над преодолением этих трудностей бились многие крупнейшие математики. Ампер также представил Французской академии большую работу на эту тему. В этой работе он дал целый ряд методов и теорем, которые вошли составным элементом в теорию диференциальных уравнений в частных производных.
Уже перечисленного достаточно, чтобы увидеть, насколько солидны заслуги Ампера в области математики. Но кроме этих работ, он опубликовал еще несколько математических исследований, и в электродинамике дал неувядаемый образец применения математики к физическим проблемам.
Мы не имеем возможности излагать здесь содержание чисто математических работ Ампера. Они относятся к весьма отвлеченным и тонким отраслям математического анализа. Отметим лишь, что они имели весьма большое значение в развитии высшей математики.
Именно в качестве математика Ампер был выбран в члены Французского института — этого высшего ученого учреждения Франции. До 1789 года во Франции было пять отдельных академий. Конвент вынужден был упразднить их «как учреждения аристократического характера, позорящие науки и ученых».
В 1795 году Директория учредила Национальный институт наук и искусств, который должен был «совершенствовать науки и искусства». Пять отделений Института получили уже при Людовике XVIII название академий. Выборы новых членов производились по освобождении мест за смертью членов академии.
В то время по разделу математических наук членами Института являлись: Лагранж, Лаплас, Лежандр, Боссю и ряд других.
В 1813 году умер Лагранж. 11 апреля 1813 года Ампер пишет Бредену: «Мне сообщили о смерти Лагранжа… Итак, вот вакантное место в Институте… Мне нужно будет выступить в качестве соискателя… Нужно будет сделать целых шестьдесят визитов… Я буду день и ночь работать над мемуаром. Скажи об этом Балланшу и Депре, но больше никому, чтобы мне не оказаться лишний раз посмешищем».
Двадцать третьего апреля он уезжает в инспекторское турне, а 30 апреля узнает о полном провале своей кандидатуры. Он получил всего один голос, остальные голоса достались конкурировавшему с ним Пуансо. Эту неудачу Ампера можно об'яснить не только тем, что заслуги Пуансо перед наукой в то время были, может быть, более значительны, чем заслуги Ампера, но также и причинами политического порядка.
