11/12 мин. Итак, встреча стрелок случится спустя 55/11 мин после часа дня, т. е. в 55/11 мин второго.
Когда же произойдет следующая встреча?
Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 55/11 мин, т. е. в 2 ч. 105/11 мин. Следующая – спустя еще 1 час 55/11 мин, т. е. в 3 ч 164/11 мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 11/11 × 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.
Вот полный перечень встреч:
1-я встреча – в 1 ч 55/11 мин
2-я —»-в 2» 1010/11 »
3-я —»-в 3» 164/11»
4-я —»-в 4» 219/11»
5-я —»-в 5» 273/11»
6-я —»-в 6» 328/11»
7-я —»-в 7» 382/11 »
8-я —»-в 8» 437/11»
9-я —»-в 9» 391/11»
10-я —»-в 10» 546/11»
11-я —»-в 12 ч
142. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга – тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на 11/12 полного круга; чтобы обогнать ее всего на 1/2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько 1/2 меньше 11/12,т. е. потребуется всего 6/11 ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя 6/11 ч, или 328/11 мин. Взгляните на часы в противоположные стороны.
Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 328/11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:
12 ч + 328/11 мин = 12 ч 328/11 мин
1 ч 55/ мин + 328/11 мин = 1 ч 387/11 мин
2 ч 1010/11 мин + 328/11 мин = 2 ч 437/11 мин
3 ч 161/11 мин + 328/11 мин = 3 ч 491/11 мин и т. д.
Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.
143. Если начать наблюдение за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит 1/12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется. На какой бы угол ни отошла от XII минутная стрелка, часовая повернется на 1/12 этого угла, а не на 1/2, как нам требуется. Но вот прошел час; теперь минутная стрелка стоит у XII, часовая – у I, на 1/12 полного оборота впереди минутной. Посмотрим, не может ли такое расположение стрелок наступить в течение второго часа. Допустим, что момент этот наступил тогда, когда часовая стрелка отошла от цифры XII на долю полного оборота, которую мы обозначим через х. Минутная стрелка успела к этому времени пройти в 12 раз больше, т. е. 12 × х Если вычесть отсюда один полный оборот, то остаток 12 ×
