Теорема Белого Кота - W Cat

Пять лет я писал «Систему Диофанта» и это не значит, что я стучал по клавиатуре все пять лет (допустим по 4 страницы в день – это сколько же будет?). Между главами пробегало от 1 до 13-17 месяцев; поэтому главы стилистически различны, но для меня этот опус – дневник и в этом его ценность.

Опыт показывает, что нормальные читатели начинают читать сначала, а потом, убедившись, что все чепуха, бросают это грязное дело. Т.е. с моей точки зрения, большинство читателей не дошли до «сладкого».

Поэтому, не удаляя ценный для меня дневник, попробую написать все заново.

Все началось с задачи Диофанта

В современной записи это будет система:

s + d = 20

sd = 96

Фигурную скобку системы { поставьте мысленно.

Решением будет квадратное уравнение:

s^>2 — 20s + 96 = 0

Как вы помните для квадратного уравнения (КУ)

ax^>2 + bx + c = 0

корни вычисляются по формуле:

Сегодня меня интересуют только приведенные квадратные уравнения (ПКУ – это когда a=1).

И еще для дальнейшего удобства ввожу переменную h = -b/2.

В таком случае формула упрощается до:

В этом сочинении меня интересует ТОЛЬКО графическое решение уравнения.

Пропускаем тривиальные рассуждения о параболах и рассмотрим подкоренное выражение.

Да! Введем еще одну подстановку вместо переменной с, введем некое число в квадрате, пусть будет v (т.е. c = v^>2).

Значит под корнем будет:

h^>2 – v^>2

Если вы присмотритесь, то под корнем оказалась теорема Пифагора.

То есть для нахождения корней не нужно возводить число в квадрат а затем из разности извлекать корень (3 – операции), а достаточно одной операции извлечь корень из c и построить треугольник (циркулем и линейкой).

Для уравнения x^>2 -10x + 16 = 0 графическое решение будет таким:

Производим вычисления h = 5; v = 4

Рис. 1.

Корни x_>1=2, x_>2 = 8.

[знак при v не имеет значения]

Немного другое решение для случая, когда корни имеют разные знаки.

Например, для уравнения x^>2 -6x - 16 = 0.

Производим вычисления h = 3; v = 4

Рис. 2.

[знак при v не имеет значения]

Корни x_>1=-2, x_>2 = 8.

Как определить потребный случай? Легко! По знаку перед коэффициентом c, если минус значит рисунок 2, и обратно (подробнее в «Системе Диофанта»).

Теперь внимательнее посмотрим на многострадальное подкоренное выражение.

Согласно теореме Виета:

b = x_>1 + x_>2; c = x_>1*x2 (для ПКУ)

Отсюда под корнем будет:

Смотрите!

 (x1+x2)/2 – это среднее арифметическое.