Математика в занимательных рассказах | страница 54

Любое начальное положение может быть приведено либо к нормальному схемы I, либо к конечному схемы II.

Схема II

Это значительно упрощает задачу: все необозримое разнообразие положений шашек сведено к двум типичным схемам I или II, так что приходится иметь дело лишь с этими двумя. Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквою S, может быть преобразовано в положение схемы I, то, очевидно, возможно и обратное — перевести положение схемы I в положение S. Ведь все передвижения шашек (все «ходы», как будем говорить кратко), несомненно, обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 4 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположным движением. И если расположение переводится в расположение не схемы I, а схемы II, то соответственно этому расположение схемы II может быть переведено в расположение S.

Итак, мы имеем две серии расположений, таких, что положения одной серии могут быть переведены в «нормальное» I, а другой серии — в положение II. И наоборот, мы уже видели, что из «нормального» расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения схемы II — любое положение второй серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащие к одной и той же серии, могут быть взаимно переводимы друг в друга: если оба относятся, например, к первой серии, то это значит, что одно из них может быть переведено в положение схемы I, а положение схемы I переводится в другое из данных двух положений; короче — одно данное положение переводимо в другое, и наоборот.

Возникает вопрос: нельзя ли идти дальше и объединить эти два типичных расположения — схем I и II? Это было бы возможно, если бы одно из них переводилось каким-нибудь образом в другое. Тогда обе серии расположений естественно слились бы в одну. Сопоставляя друг с другом расположения схем I и II, можно строго доказать (не станем входить здесь в подробности), что положения эти не могут быть превращены одно в другое никаким числом передвижений. Это — огонь и вода. Поэтому все огромное число размещений шашек распадается на две разобщенные серии: 1) на те, которые могут быть переведены в «нормальное» схемы I: это — положения разрешимые; 2) на те, которые могут быть переведены в положение схемы II и, следовательно, ни при каких обстоятельствах не переводятся в «нормальное» конечное расположение: это — положения неразрешимые, те именно, за разрешение которых тщетно назначались огромные премии.