Не увели ли нас предположения и упрощения далеко в сторону от тех реальных условий, в которых колеблется реальный атом в узле реальной кристаллической решетки? Кажется, не увели. Пружинка удачно моделирует наличие силы притяжения (когда она растянута) и силы отталкивания (когда она сжата). Грузик хорошо моделирует атом, так как в нашей задаче, если силы заданы, от атома требуется лишь иметь определенную массу, а грузик ее имеет. А то, что в избранной модели колебания происходят вдоль прямой, существа дела практически не искажает, так как более сложное колебание можно представить в виде суммы прямолинейных, — этой возможностью мы уже пользовались, когда, объясняя открытие Дюлонга и Пти, предполагали, что каждый из атомов участвует в трех прямолинейных колебаниях.
Определим вначале амплитуду колебаний атома. Потенциальная энергия W>п колеблющегося грузика, очевидно, не должна зависеть от того, смещается он влево или вправо от своего среднего положения, когда пружина и не сжата, и не растянута. А это означает, что
где φ — постоянная величина, характеризующая упругие свойства пружины. Эта величина определяет силу, действующую на грузик со стороны пружины: F = — φх.
При максимальном отклонении колеблющегося атома от положения равновесия, т. е. при отклонении на величину амплитуды колебаний А, как мы уже знаем, вся энергия атома kТ будет запасена в виде потенциальной энергии. Это означает, что
φA>2/ 2 = kT
и, следовательно,
A = (2kT / φ)>1/2
Полученная формула неприятна тем, что в нее входит неизвестная нам величина φ. Впрочем, ее нетрудно связать с известными характеристиками кристалла. Для этого левую и правую части формулы, которая определяет силу F, поделим на а>2, где а — межатомное расстояние:
F/а>2= -φ/а>.x/а
Легко усмотреть, что F/a>2 — напряжение, действующее на атом,х/а — относительное смещение атома. Если оно невелико, последняя формула просто является записью закона Гука, а отношение φ/а имеет смысл модуля упругости Е. Итак, φ = Еа , а амплитуда
A = (2kT/Ea)>1/2 ≈ T>1/2
Из нашего расчета следует, что амплитуда колебаний атома с температурой возрастает по закону T>1/2. У металлов, для которых Е ≈ 10>12 дин/см>2, а ≈ 3• 10>-8 см, в области предплавильных температур амплитуда А ≈ 2>.10>-9 см и, следовательно, составляет несколько процентов от величины межатомного расстояния. Много это или мало? Конечно же, немного, если иметь в виду сохранение решетки как таковой, если заботиться о том, чтобы тепловые колебания не расшатали кристалл, лишив его порядка в расположении атомов. При найденной нами амплитуде колебаний атомов кристалл сохраняет свою индивидуальность, еще не теряет «черты кристалла».
