следует преобразование
В, то в результате получается преобразование, называемое
произведением, или
результирующим преобразованием ВА. Заметим, что произведение, вообще говоря, зависит от порядка преобразований
A и
В. Например, если
А — преобразование, переводящее координату
х в координату
y, а
у — в
х, оставляя
z без изменений, и если
В переводит
х в
z, а
z — в
х, оставляя
y без изменений, то
ВА будет переводить
х в
у, у — в
z и
z — в
х, а
АВ будет переводить
х в
z,
у — в
х и
z — в
у. Если
АВ и
ВА совпадают, то говорят, что
А и
В перестановочны.Иногда, но не всегда, преобразование А не только переводит каждый элемент системы в элемент, но обладает еще тем свойством, что каждый элемент оказывается результатом преобразования одного из элементов. В этом случае существует такое единственное преобразование А>—1, что каждое из произведений АА>—1 и А>—1A представляет собой особое, вырожденное преобразование, которое называется тождественным преобразованием I и преобразует каждый элемент в самого себя. В этом случае мы называем преобразование А>—1 обратным к преобразованию А. Очевидно, что А обратно к А>—1, что I обратно к самому себе и что обратное преобразование к АВ есть B>—1A>—1.
Существуют множества преобразований, в которых: 1) каждое преобразование, принадлежащее к данному множеству, имеет обратное преобразование, также принадлежащее к этому множеству, и 2) произведение любых двух преобразований, принадлежащих к данному множеству, само принадлежит к этому множеству. Такие множества носят название групп преобразований. [c.107] Множество всех сдвигов или по прямой, или в плоскости, или в трехмерном пространстве есть группа преобразований; более того, оно принадлежит к группам преобразований особого рода, называемым абелевыми группами[132], где любые два преобразования перестановочны. Напротив, множество поворотов около точки и множество всех перемещений твердого тела в пространстве суть неабелевы группы.
Предположим теперь, что имеется какая-то величина, связанная со всеми элементами, преобразуемыми данной группой преобразований. Если эта величина не изменяется, когда каждый элемент изменяется одним и тем же преобразованием группы, каково бы ни было это преобразование, то она называется инвариантом группы. Существует много разновидностей таких инвариантов. Из них для наших целей особенно важны две.
Первая разновидность — так называемые линейные инварианты. Обозначим через
