Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине | страница 74
Применим теперь эту новую меру к одной из областей фазового пространства, для которой определена энергия, общее количество движения и общий момент количества движения, и предположим, что в системе нет других измеримых инвариантных величин. Пусть полная мера этой ограниченной области постоянна; изменяя масштаб, ее можно приравнять единице. Поскольку наша мера была получена из меры, инвариантной во времени, способом, инвариантным во времени, она и сама инвариантна. Мы назовем эту меру фазовой мерой, а средние по этой мере — фазовыми средними.
Но всякая величина, изменяющаяся во времени, может иметь также среднее значение по времени — временно́е среднее. Например, если f(t) зависит от t, то временно́е среднее для прошлого равно
а временно́е среднее для будущего
[c.104]
В гиббсовой статистической механике встречаются как временные, так и пространственные средние. Блестящей идеей Гиббса была попытка доказать, что эти средние в некотором смысле тождественны. Догадка Гиббса о связи двух типов средних совершенно правильна, но метод, которым он пытался доказать эту связь, был совершенно и безнадежно неверным. В этом его вряд ли можно винить. Интеграл Лебега стал известен в Америке лишь к моменту смерти Гиббса. В течение еще пятнадцати лет он был музейной редкостью и применялся только, чтобы продемонстрировать молодым математикам, до какой степени могут быть доведены требования математической строгости. Такой выдающийся математик, как У.Ф. Осгуд, не хотел его признать до конца своей жизни[128]. Лишь около 1930 г. группа математиков — Купмен, фон Нейман, Биркгофф[129] — установила наконец прочные основы статистической механики Гиббса. Каковы были эти основы, мы увидим дальше, когда познакомимся с эргодической теорией.
Сам Гиббс думал, что в системе, из которой удалены все инварианты — лишние координаты, почти все пути точек в фазовом пространстве проходят через все координаты такого пространства. Эту гипотезу он назвал эргодической, от греческих слов εργον — «работа» и οδόσ — «путь». Но как показал Планшерель и другие, ни в одном реальном случае эта гипотеза не оправдывается. Никакая дифференцируемая траектория, даже бесконечной длины, не может покрыть целиком область на плоскости. Последователи Гиббса и, по-видимому, в конце концов сам Гиббс смутно поняли это и заменили свою гипотезу другой, квазиэргодической гипотезой, которая утверждает лишь, что с течением времени система в общем случае проходит неограниченно близко к каждой точке в области фазового пространства определенной известными интервалами. Логически такая гипотеза вполне приемлема, но она совершенно недостаточна для тех выводов, которые Гиббс основывает на ней. Она ничего не говорит об относительном времени пребывания системы в окрестности каждой точки.
