Пусть имеется бесконечная плоскость, на которую нанесены равномерно точки — галактики. Растянем теперь эту плоскость во всех направлениях равномерно так, чтобы расстояния между точками увеличились. Спрашивается, куда же растягивалась плоскость? Ведь она и так простиралась до бесконечности. Очевидно, таковы свойства бесконечности. Увеличив бесконечность вдвое, будем иметь все ту же бесконечность!
***
Давайте ненадолго отвлечемся от галактик и Вселенной и поговорим немного о бесконечности, ибо это понятие играет важнейшую роль в наших представлениях о Вселенной.
Бесконечность изучается математикой, тем ее разделом, который называется теорией множеств. Большинство из тех, кто не занимался этим вопросом специально, имеет о бесконечности весьма смутное (и наивное) представление. Интуитивно кажется, что бесконечность — это то, что получается, если неограниченно продолжать счет 1, 2, 3,. и т. д. без конца. Казалось бы, какая тут еще может быть теория бесконечного?
В действительности свойства бесконечного вовсе не исчерпываются неограниченным продолжением счета. Более того, эти свойства бесконечно разнообразнее и удивительнее любых свойств конечных чисел и их совокупностей.
Мы познакомимся с некоторыми из них. Начнем с рассказа, приписываемого знаменитому математику Д. Гильберту.
Представим себе гостиницу с бесконечным числом номеров, «перенумерованных» по порядку:
1, 2, 3...
Все номера заняты. Поздно вечером приезжает еще один гость. «Свободных мест нет», — говорит ему портье. «Это не играет роли, — вступает в разговор управляющий. — Переселим гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 3, гостя из номера 3 — в номер 4 и так далее, а вновь прибывшего гостя поместим в освободившийся номер 1».
Среди ночи приезжает еще 1000 гостей. «Свободных мест нет», — говорит им портье. «Неважно, — возражает управляющий. Переселим гостя из номера 1 в номер 1001, гостя из номера 2 — в номер 1002 и так далее, а вновь прибывших гостей поместим в освободившиеся номера от 1 до 1000».
Не успели все гости разойтись по отведенным им номерам, как в гостиницу вваливается толпа. На этот раз вновь прибывших бесконечно много, и мы обозначим их A1, A2, А3... «Свободных мест нет», — говорит портье. «Ничего страшного, — все так же спокоен управляющий. — Переселим гостя из номера 1 в номер 2, гостя из номера 2 — в номер 4, гостя из номера 3 — в номер 6 и вообще каждого гостя из последующего номера - попросим переехать в номер с вдвое большим числом. Тогда гостей A1, А2, А3... мы сможем поселить в номерах 1, 3, 5,...».
