Лекции по физике 7 | страница 46

E=E_>0e^{>i>(>w>t>->k>·>r>)}, (33.6)

где Е — амплитуда поля в точке г (относительно начала коор­динат) в момент t. Вектор k указывает направление распростра­нения волны, а его величина |k|=k=2pl равна волновому числу. Фазовая скорость волны v_>фаз=w/k для света в материале с показателем nбудет равна c/n, поэтому

k=wn/c. (33.7)

Предположим, что вектор k направлен по оси z; тогда k·rбудет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора k в любом другом направлении z следует заменить на r_>k— расстояние от начала в направлении вектора k, т. е. kzмы должны заменить на kr_>k, что как раз равно k·r(фиг. 33.2).

Фиг. 33.2. Фаза волны в точке Р, распространяющейся в направ­лении k, равна (wt-k·r).

Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.

Разумеется, при этом мы должны помнить, что

k·r=k_>xx+k_>yy+k_>:>zz,

где k_>x, k_>yи k_>z— компоненты вектора k по трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (w, k_>x, k_>y, k_>z) образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (t, x, у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального по­ля Е, подобного выражению (33.6), производная dE/дt— это то же самое, что и iwE, a дЕ/дх — то же, что и ik_>xE, и аналогично для остальных компо­нент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция С=(д/дx), (д/ду), (д/дz) заменяется тремя умножениями (-ik_>x,-ik_>y, -ik_>z). Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор С заменяется умножением на

Правило остается справедливым для операции С в любой ком­бинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента СXЕ равна

Если и Е_>уи Е_>хизменяются как e^>->i>k>·>r, то мы получаем

-ik_>xE_>y+ik_>yE_>x,

что представляет, как вы видите, z-компоненту —ikXЕ.

Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор С эквивалентен умножению на —ik.

Например, уравнение Фарадея

СXЕ