Апология математика | страница 48

Значительная математическая идея, серьёзная математическая теорема должна обладать "общностью" в каком-то следующем смысле. Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе её доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьёзной теоремы, если в ней явно недостаточно этих свойств. Нам остаётся только привести примеры отдельных курьезов, которые во множестве встречаются в арифметике. Приведу, два примера, заимствованных мной почти наугад из книги "Математические эссе и развлечения" Роуза Болла и Коксетера. (Русский перевод: Болл Р., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - М.: Мир, 1986. - Прим. перев.)

(а) 8712 и 9801 единственные четырёхзначные числа, равные целым кратным числам, полученным при записи в обратном порядке:

Других чисел, не превосходящих 10000, которые бы обладали этим свойством, не существует.

(б) Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

Все это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика. Их доказательства не трудны и не интересны, а всего лишь немного утомительны. Соответствующие утверждения, как теоремы, не серьёзны. Ясно, что одна из причин этого (хотя, вероятно, не самая важная) - чрезмерная конкретность как формулировок, так и доказательств, не допускающих никаких обобщений.

"Общность" - многозначное и весьма опасное слово, и мы должны тщательно следить за тем, чтобы оно не слишком доминировало в наших обсуждениях. Оно используется в различных смыслах и в математике и в литературе о математике, и на общности, понимаемой в одном из смыслов, логики делают особый акцент, хотя для нас такое понимание логиков здесь полностью неуместно. В этом смысле, как нетрудно доказать, все математические теоремы обладают одинаковой и полной "общностью".

"Определённость математики, - говорит Уайтхед, - зависит от её совершенно абстрактной общности". Когда мы утверждаем, что 2+3=5, мы говорим об отношении между тремя группами "вещей", и эти "вещи" - не яблоки, монеты или вещи того или иного вполне определённого рода, а просто "вещи", "любые виды вещей". Смысл утверждения совершенно не зависит от индивидуальностей членов групп. Все математические "объекты", "сущности" или "отношения", такие, как "2", "3", "5", "+" или "=", и все математические предложения, в которые они входят, носят совершенно общий характер в том смысле, что они совершенно абстрактны. Одно из слов в утверждении Уайтхеда излишне, так как общность в этом смысле есть абстрактность.