Существуют по меньшей мере две точки зрения, согласно которым пространство может обладать свойствами более сложными, нежели те, что описаны в учебниках геометрии и смутно запомнились большинству из нас еще со школьных времен. Оно может либо не повиноваться основным аксиомам Евклида, либо иметь более трех измерений. Современные геометры, чей девиз — «если это можно себе представить, это уже не геометрия», навыдумывали много более страшных вероятностей, но мы можем с благодарностью пренебречь ими.
Четвертое измерение за последнее время вышло из моды; оно было популярно в начале столетия, но, возможно, когда-нибудь вновь получит признание. Сама по себе мысль, что может существовать нечто, настолько же превосходящее куб, насколько куб превосходит квадрат, не содержит ничего особенно трудного для восприятия. Очень легко вычислить свойства четырехмерных, да и вообще n-мерных тел по аналогии с телами низших измерений. Мы займемся этим в главе 14.
Хотя я охотно — и даже более чем охотно — готов принять поправку к моей точке зрения, я не думаю, что евклидово пространство предоставляет возможность кратчайшего сообщения между двумя точками в знакомом нам трехмерном мире. Две точки, разделенные определенным расстоянием в трехмерном пространстве, окажутся как минимум не менее отдаленными друг от друга в пространстве любого высшего порядка. Однако, если мы вообразим, что пространство может быть изогнуто, искривлено и аксиомы Евклида к нему уже неприменимы, возникают новые и очень интересные возможности.
И вновь единственным доступным нам способом оценить эти возможности оказывается аналогия. Вспомните о давно знакомой, но загадочной фигуре — так называемой поверхности Мёбиуса. Она образуется склеиванием двух концов бумажной полоски, предварительно скрученной на пол-оборота. В результате, как известно, получается «кольцо с односторонней поверхностью», в чем вы можете легко убедиться, проведя по нему пальцем. Я предлагаю вам самим изготовить поверхность Мёбиуса: вам потребуется на это секунд тридцать, и вы не пожалеете затраченного времени.
Зажмите эту склеенную полоску между большим и указательным пальцами. Вы сможете провести карандашом непрерывную линию от большого пальца к указательному, сделав один оборот по полоске. (А может, это будет всего только пол-оборота? Но так мы, чего доброго, далеко зайдем). Расстояние это довольно большое, особенно для жителя воображаемой двухмерной страны «Флатландии», который может передвигаться только по поверхности.
