Из аксиом с помощью рассуждений выводятся заключения. Существует много типов рассуждений, например рассуждения по индукции, по аналогии и дедукции. Правильность заключения гарантирует лишь один из многих типов рассуждений. Заключение «Все яблоки красные», сделанное на основании того, что тысяча просмотренных яблок оказались красными, индуктивно и поэтому не абсолютно надежно. Заключение «Джон сможет окончить этот колледж», сделанное потому, что брат Джона, унаследовавший от родителей те же способности, окончил колледж, получено с помощью рассуждения по аналогии и заведомо не надежно. С другой стороны, дедуктивное рассуждение, несмотря на множество различных форм, гарантирует истинность заключения. Так, допуская, что все люди смертны и Сократ — человек, следует прийти к заключению, что Сократ смертен. Используемое в этом рассуждении правило логики является одной из форм суждения, которое Аристотель назвал силлогистическим выводом. К правилам дедуктивного рассуждения Аристотель относил также закон противоречия (никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое высказывание должно быть либо истинным, либо ложным).
Аристотель, а вслед за ним и весь мир приняли за неоспоримую истину, что применение правил дедуктивного вывода к любым посылкам гарантирует получение заключений, не уступающих по надежности посылкам. Иначе говоря, если посылки истинны, то истинны и заключения. Следует отметить, в особенности для обсуждения в дальнейшем, что Аристотель абстрагировал правила дедуктивной логики из рассуждений, которыми тогда уже широко пользовались математики.{8} Дедуктивная логика — дитя математики.
Хотя почти все греческие философы считали дедуктивный вывод единственно надежным методом получения истины, Платон придерживался несколько иных взглядов. Не выдвигая возражений против дедуктивного доказательства, Платон тем не менее считал его поверхностным, поскольку математические аксиомы и теоремы существуют в некотором объективном, независимом от человека мире, и в соответствии с учением Платона об анамнезисе человеку необходимо лишь вспомнить эти аксиомы, чтобы сразу же распознать их неоспоримую истинность. Теоремы, если воспользоваться сравнением из диалога Платона «Теэтет», подобны птицам в птичнике. Они существуют сами по себе, и необходимо лишь «схватить» их. В диалоге Платона «Менон» Сократ с помощью искусно поставленных вопросов вытягивает из молодого раба утверждение, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на любом из катетов. Сократ торжествующе заключает, что искусно поставленные вопросы помогли рабу, никогда не изучавшему геометрию, вспомнить теорему.
