Математика. Утрата определенности. | страница 15

Учение пифагорейцев может показаться нам странным, потому что для нас числа — абстрактные понятия, а вещи — физические, или материальные, объекты. Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования — а ранним пифагорейцам эта абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами. Говоря о треугольных, квадратных, пятиугольных и других числах, которые мы сегодня называем фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков, или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других геометрических фигур (рис. 1.1-1.4).

Хотя дошедшие до нас фрагменты исторических документов не позволяют установить точную хронологию событий, не вызывает сомнения, что пифагорейцы, развив и усовершенствовав свои учения, начали рассматривать числа как абстрактные понятия, а объекты — как конкретные реализации чисел. Именно в смысле такого более позднего различия, по-видимому, надлежит понимать высказывание знаменитого пифагорейца V в. до н.э. Филолая: «Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам… Мощь чисел проявляется, как нетрудно заметить… во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке». 

Свести музыку к простым отношениям чисел пифагорейцам удалось после того, как они совершили два открытия: во-первых, что высота тона, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины и, во-вторых, что гармонические созвучия издают одинаково натянутые струны, длины которых относятся между собой как целые числа ([5], с. 393-434). Например, гармоническое созвучие издают две одинаково натянутые струны, из которых одна вдвое длиннее другой. На современном языке интервал между тонами, издаваемыми такими двумя струнами, называется октавой. Другое гармоническое созвучие издают две струны, длины которых относятся как 3:2. В этом случае более короткая струна издает ноту, которая на квинту выше тона, издаваемого более длинной струной. Пифагорейцы разработали знаменитую музыкальную шкалу. Мы не будем, подробно останавливаться на музыке греческого периода. Заметим лишь, что многие греческие математики, в том числе Евклид и Птолемей, посвятили музыке, в частности гармоническим созвучиям и построению музыкальной шкалы, специальные сочинения. 

Движения планет пифагорейцы также свели к числовым отношениям. Они считали, что тела, двигаясь в пространстве, издают звуки. Должно быть, на эту мысль их навело наблюдение: камень, раскручиваемый на веревке, со свистом разрезает воздух. Пифагорейцы полагали, что быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем тело, движущееся медленно. Согласно астрономическим воззрениям пифагорейцев, планеты движутся тем быстрее, чем дальше они находятся от Земли. Звуки, издаваемые планетами, изменяются в зависимости от удаления от Земли и образуют гармоническое созвучие. Но эта «музыка сфер», подобно всякой гармонии, сводится к числовым отношениям, поэтому и движения планет также сводятся к числовым отношениям. Мы не слышим музыку небесных сфер потому, что привыкли к ней с самого рождения.