Приглашение в теорию чисел | страница 8

Магический квадрат Б. Франклина перед вами (рис. 11) и вы можете сами проверить его замечательные свойства.

Рис. 11.

Б. Франклин по праву гордился своим творением, что видно из продолжения его письма: «На следующее утро я послал этот квадрат нашему другу, который через несколько дней вернул его в ответном письме со следующими словами: „Я возвращаю тебе твой удивительный, а может быть, самый изумительный магический квадрат, в котором…", но этот комплимент слишком экстравагантен, и поэтому ради него, а также ради самого себя, мне не следует его повторять. К тому же это и необязательно, так как я не сомневаюсь, что вы охотно согласитесь, что этот квадрат 16 × 16 является самым магически-магическим из всех магических квадратов, составленных когда-либо каким-либо магом». Более подробные сведения о построении магических квадратов можно найти в книгах: Е. Я. Гуревич. Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969 и И. М. Постников. Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.

Система задач 1.5.

1. Мог ли Дюрер использовать вместо своего квадрата, изображенного на рис. 9, какие-либо другие квадраты, в которых тот же год фигурировал таким же образом?

2. Дюрер прожил до 1528 г. Смог ли бы он датировать какую-нибудь из своих более поздних картин таким же способом?

Рис. 12. Репродукция магического круга Франклина. Оригинал, выполненный в цвете, был продан частному коллекционеру на аукционе в Нью-Йорке.

3. Изучите некоторые свойства магического круга Б. Франклина (рис. 12).

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,

6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,

в то время как другие, например,

3, 7, 13, 37,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число

c = a b (2.1.1)

является произведением двух чисел a и b, то мы называем а и b множителями или делителями числа с. Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

с = 1 • с = с • 1. (2.1.2)

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с.

Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным. Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (2.1.2), то оно называется простым. Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.