Приглашение в теорию чисел | страница 6
>x>1 y>1 z>1
>x>2 y>2 z>2
>x>3 y>3 z>3
и выясним, какими могут быть эти девять чисел.
Рис. 9.
Вначале покажем, что центральное число y>2 должно равняться 5. Из формулы (1.5.1) следует, что при n = 3 магическая сумма s равна 15. Просуммируем теперь числа во второй строке, втором столбце и обеих диагоналях. В эту сумму каждое число, кроме числа y>2, входит по одному разу; число у>2 входит четыре раза, так как оно содержится в каждой из четырех сумм. Поэтому, так как каждая сумма равна s, то
4s = 4 × 15 = 60 =
= x>2 + y>2 + z>2 + y>1 + y>2 + y>3 + x>1 + у>2 + z>3 + z>1 + y>2 + x>3 = Зy>2 + x>1 + x>2 + x>3 + y>1 + y>2 + y>3 + z>1 + z>2 + z>3 =
= 3y>2 + 1 + 2 +… + 9 = 3y>2 + 45.
Следовательно,
Зy>2 = 60–45 = 15 и y>2 = 5.
В таблице
>x>1 y>1 z>1
>x>2 5 z>2
>x>3 y>3 z>3
число 9 не может стоять в углу, так как, если, например, x>1 = 9, то z>3 = 1 (потому что s = 15), т. е. мы получили бы таблицу
>9 y>1 z>1
>x>2 5 z>2
>x>3 y>3 1
Каждое из четырех чисел y>1, z>1, x>2, х>3 должно быть меньше шести, так как y>1 + z>1 = х>2 + х>3 = 6. Но у нас осталось лишь три числа, меньших шести, а именно: 2, 3 и 4. Таким образом, получилось противоречие. Отсюда мы делаем вывод, что число 9 должно находиться в середине строки или столбца, поэтому наш квадрат может быть записан так:
>x>1 9 z>1
>x>2 5 z>2
>x>3 1 z>3
Число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 9, так как тогда сумма чисел в этой строке была бы больше пятнадцати; точно так же число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 1, так как тогда оставшееся в этой строке число должно было бы быть также семеркой. Таким образом, 7 не может находиться в углу, и мы можем считать, что наш квадрат имеет следующий вид:
>x>1 9 z>1
>7 5 z>2
>x>3 1 z>3
Числа, находящиеся в одной строке с числом 9 — это 2 и 4, так как иначе сумма в этой строке была бы больше пятнадцати. Далее, число 2 должно быть в том же столбце, что и число 7, так как если бы там стояло 4, то третье число в этом столбце было бы тоже 4. Используя это наблюдение, мы можем определить место каждого из двух оставшихся чисел 6 и 8, в результате получаем магический квадрат, изображенный на рис. 7.
Для больших значений n можно построить великое множество магических квадратов. В XVI и XVII веках, и даже позже, составление магических квадратов столь же процветало, как и составление кроссвордов в наши дни. Бенджамин Франклин
