Приглашение в теорию чисел | страница 18

τ(n) = (α_>1 + 1) (α_>2 + 1)… (α_>r + 1). (3.2.3)

Система задач 3.2.

1. Сколько делителей имеет простое число? Сколько делителей имеет степень простого числа р^>α?

2. Найдите количество делителей у следующих чисел: 60, 366, 1970, вашего почтового индекса.

3. Какое натуральное число (или числа), не превосходящее 100, имеет наибольшее количество делителей

Существует единственное число n = 1, которое имеет только один делитель. Числами с ровно двумя делителями являются простые числа n = р: они делятся на 1 и на р. Наименьшим числом, имеющим два делителя, является, таким образом, р = 2.

Исследуем числа, имеющие ровно 3 делителя. В соответствии с (3.2.3) имеем

3 = (α_>1 + 1) (α_>2 + 1)… (α_>r + 1).

Так как 3 — простое число, то справа может существовать лишь один множитель, не равный 1. Отсюда r = 1, a α_>1 = 2. Таким образом,

n = p_>1^>2.

Наименьшим числом с 3 делителями является n = 2^>2 = 4. Это соображение, примененное к общему случаю, когда число делителей q является простым числом, позволяет получить, что

q = α_>1 + 1, т. е. α_>1 = q — 1 и n = р_>1^>q-1;

наименьшим из таких чисел является

n = 2^>q-1.

Рассмотрим следующий случай, когда существует ровно 4 делителя. Тогда соотношение

4 = (α_>1 + 1) (α_>2 + 1),

возможно только тогда, когда

α_>1 = 3, α_>2 = 0 или α_>1 = α_>2 = 1.

Это приводит к двум возможностям:

n = p_>1^>3, n = p_>1  p_>2;

наименьшее число с 4 делителями — это n = 6.

В том случае, когда имеется 6 делителей, должно выполняться соотношение

6 = (α_>1 + 1) (α_>2 + 1),

что возможно лишь тогда, когда

α_>1 = 5, α_>2 = 0 или α_>1 = 2, α_>2 = 1.

Это дает две возможности:

n = p_>1^>5, n = p_>1^>2p_>2;

при этом наименьшее значение имеет место в последнем случае, когда

p_>1 = 2, p_>2 = 3, n =12.

Этот метод можно использовать для вычисления наименьших натуральных чисел, имеющих любое заданное количество делителей.

Существуют таблицы, указывающие количество делителей для различных чисел. Они начинаются следующим образом:

Вы легко можете ее самостоятельно продолжить.

Будем говорить, что натуральное число n является сверхсоставным, если количество делителей у каждого числа, меньшего n, меньше, чем количество делителей у числа n. Глядя на нашу небольшую таблицу, мы видим, что

1, 2, 4, 6, 12

являются первыми пятью сверхсоставными числами. О свойствах этих чисел известно еще очень мало.

Система задач 3.3.

1. Взвод из 12 солдат может маршировать 6-ю различными способами: 12 × 1, 6 × 2, 4 × 3, 3 × 4, 2 × 6, 1 × 12. Какую наименьшую численность должны иметь группы людей, которые могут маршировать 8, 10, 12 и 72 способами?