Для большинства математиков и философов Древней Греции было характерно восприятие числа исключительно как меры дискретных множеств предметов или меры непрерывных величин, состоящих из однородных с ними величин, равных между собой. Расцвет астрономии, огромные и регулярные вычислительные работы по составлению тригонометрических и астрономических таблиц, успехи числовой алгебры — все это привлекло внимание к иррациональным числам (1/5) как законному объекту математики.
Хайям, развивая тенденцию на объединение отношений и чисел, первый со всей определенностью формулирует и новую, более общую концепцию действительного (положительного) числа. Он вводит и обосновывает понятие общей абстрактной числовой величины, указывая на практическую значимость такого расширения понятия числа. Хайям подчеркивает, что новая, вводимая им единица является делимой, — только у практиков эта единица всякий раз являлась именованной и могла рассматриваться как множество других более мелких единиц, а у Хайяма это — отвлеченная числовая единица. В итоге у Хайяма каждому отношению ставится в соответствие некоторое действительное (положительное) число и отношения вместе с числами приобретают функции измерения любых величин.
За Хайямом в теории отношений и учении о числе последовал Насир ад-Дин ат-Туси. В Европе единое понятие действительного (положительного и отрицательного) числа впервые появляется в конце XVI века. Строгие теории действительного числа появились только в конце XIX века. В третьей книге у Хайяма есть следующий отрывок: «Что касается отнимания отношения, упоминаемого в музыке, то на самом деле при внимательном рассмотрении оно оказывается разновидностью присоединения, и метод изучения — тот же самый для обладающего проницательным умом и хорошей интуицией. Мы коснулись этого вопроса в „Комментариях к трудностям“ Книги о музыке». Упоминаемая Хайямом работа не сохранилась. Скорее всего это были комментарии к «Большой книге о музыке» аль-Фараби, с творчеством которого Хайям был хорошо знаком.
Те, в ком страсти волнуются, мысли кипят, —
Все на свете понять и изведать хотят.
Выпьют чашу до дна — и лишатся сознанья,
И в объятиях смерти без памяти спят.
— Я иногда завидую тем людям, которые не забивают себе головы такими выспренними словами, как «мудрость», «истина», «знание».
Прекрасная летняя ночь нависла над Исфаханом. В небе сочно роятся равнодушные звезды. Упрямый горный ветерок все же ухитрился отогнать остатки дневного зноя. На верхней площадке обсерватории стоят Омар Хайям и Абу-ль-Музаффар аль-Исфазари.
