Конечно же математическое рассуждение не ограничивается такими, завязанными на вполне определенный единичный предмет, построениями. Математический анализ постоянно имеет дело с такими предметами, которые не могут быть вполне определены с помощью конечной процедуры построения. Самый характерный пример - иррациональное число, которое определяется либо как последовательность рациональных чисел, либо как сечение на множестве рациональных чисел. В любом случае такое определение предмета предполагает предъявление какой-то бесконечной совокупности и о его существовании уже невозможно говорить в рассмотренном выше смысле. Тем более это невозможно, если речь идет о последовательностях или о бесконечных множествах вещественных чисел. Названные предметы, тем не менее, весьма активно изучаются в анализе. В математике принято два способа говорить о существовании этих неконструируемых предметов.
Первый неконструктивный способ интерпретации существования связан с законом исключенного третьего. На нем основаны все доказательства от противного. Приведем еще один пример. Одна из центральных теорем анализа утверждает, что если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Доказательство этого факта часто проводят, предположив, что данная последовательность нефундаментальна (т.е. не удовлетворяет критерию Коши). Из этого предположения легко выводится, что последовательность в таком случае и не ограничена, что противоречит условиям теоремы. Далее же на основании закона исключенного третьего утверждается фундаментальность рассматриваемой последовательности, а соответственно и наличие предела. Никаких указаний на какое-либо конкретное число, могущее быть пределом последовательности, равно как и на способ его вычисления, нет ни в формулировке, ни в доказательстве теоремы. Мы, конечно, можем усмотреть здесь какую-то схему, которая может быть применена к заданной последовательности, т.е. к определенному единичному предмету. Но к построению другого единичного предмета (в существовании которого и требуется удостовериться) предложенная схема не приведет. Это предмет останется предметом гипотетическим. Нет никаких реальных критериев для того, чтобы отличить его от какого-либо другого. Брауэр, о взглядах которого на проблему существования мы будем более подробно говорить в дальнейшем, считал, что философским основанием для такого типа рассуждений является реализм (или "платонизм"), неправомерно перенесенный на математические объекты [65]. Утверждая, что бесконечная последовательность (которую мы не построили и не можем построить) должна быть либо фундаментальной, либо нефундаментальной, мы верим в некоторое действительное положение дел, существующее независимо от нас в каком-то идеальном мире. Наше суждение об этом положении дел может быть истинным или ложным, сама же реальность, никак не связана с нашими собственными действиями. Брауэр считал неправомерным использование закона исключенного третьего потому, что по его убеждению математические объекты и их отношения не есть независимая от субъекта реальность, о которой можно лишь истинно или ложно судить, а есть продукт собственной деятельности субъекта. Можно не принимать такую точку зрения, но трудно, по-видимому, отрицать, что онтологический статус предмета, определенный подобным образом, остается довольно сомнительным. Мы начинаем оперировать с предметом, присутствие которого непосредственно не удостоверено. Можно сказать, что такой предмет не существует в подлинном смысле, а как будто существует. Не имея возможности предъявить его в нашем рассуждении, мы рассуждаем так, как если бы он существовал (как если бы был построен). Установив существование с помощью закона исключенного третьего, часто имитируют непосредственное указание на этот предмет, вводя для него имя, участвующее далее во всех рассуждениях. Другой способ понимания существования в отношении предметов математики также связан скорее с предположением о существовании (по крайней мере, если сопоставлять его с конструктивным предъявлением индивида). Введение целых классов предметов осуществляется с помощью мыслительного хода, подобного тому, который был предпринят при введении отрицательных чисел для учета расходов и долгов в разных финансовых операциях или введении иррациональных (а затем и комплексных) чисел при решении алгебраических уравнений. Всякий раз в рассуждение вводится некий квази-объект, который не указывается конструктивно. Про него лишь говорится, что он может участвовать в различных манипуляциях с числами наравне с числами "настоящими" (например, рациональными). Для него придумывается специальный значок, который подставляется в формулы. Причем результатом применения к нему этих формул оказывается вполне определенное, вычисляемое число. Сам же этот квази-объект по существу оказывается отождествлен с тем значком, который подставляется вместо него в формулу.
