Величайшие математики всех времён и народов пытались доказать этот постулат как теорему на основе других аксиом Евклида. Но все попытки оказались тщетными. Н.И. Лобачевский, который был не только великим учёным-геометром, но и замечательным педагогом, деканом и ректором Казанского университета, также пытался это сделать. Остались неизвестными тот день и час, когда он вдруг почувствовал, как, точно молния, сверкнул в его мозгу ответ на то "почему", с которым были связаны многие годы его жизни. Он понял, что пятый постулат недоказуем именно потому, что представляет собой лишь гипотезу - одно из возможных предположений о свойствах окружающего нас пространства. И истинность его может быть установлена только опытным путём, т.е. путём обращения к самой природе. Таким образом, данный постулат совершенно не зависит от остальных аксиом Евклида, логически вывести его принципиально невозможно.
Всеми признанная геометрия не может дать доказательства пятого постулата. Не означает ли это, что при замене его другим постулатом параллельности может быть построена абсолютно новая геометрия? Лобачевский назвал её сначала осторожно, "Воображаемой", а потом - "Всеобщей геометрией" или "Пангеометрией". Сегодня её называют неевклидовой или просто геометрией Лобачевского.
В противоположность допущению Евклида, что через точку С, лежащую вне прямой АВ, проходит на плоскости только одна параллельная ей прямая линия. Лобачевский принял постулат, утверждающий, что таких прямых может быть, по крайней мере, две (СМ и СN). Отсюда следует, что имеется ещё бесчисленное множество прямых, заключённых в углу между прямыми СМ и CN', которые также не будут пересекать АВ (рис. 1)
М' N'
С
N M
А В
Д
Рис. 1.
Часто говорят, лиха беда начало. А здесь оно было особенно трудным. Ведь всякий, кто впервые прочтёт указанное предположение, немедленно воскликнет: "Неверно! Попробуйте продолжить прямые АВ и CN или СМ, они пересекутся тут же на чертеже!"
Конечно, пересекутся, но на обычной (привычной нам) плоскости. Однако, выдвинув свой постулат, Лобачевский сразу же расстался с абсолютным, всюду однородным эвклидовым пространством, поскольку в нём такое допущение было бы невозможно и бессмысленно. Отвергнув истинность V постулата, он тем самым открыл существование пространства с другими свойствами. "Плоскость" в этом новом, неевклидовом пространстве вовсе не плоская. У неё имеется кривизна. Само пространство Лобачевского обладает кривизной. В частном - предельном случае, когда радиус кривизны становится равным бесконечности, пространство Лобачевского переходит в "плоское" (нулевой кривизны) пространство Евклида. Следовательно, геометрия последнего есть только частный случай геометрии Лобачевского. Поэтому начерченные на листке бумаги параллельные Лобачевского имеют чисто условный вид и, конечно, они пересекутся. Но если мы растянем мысленно этот листок-плоскость на миллионы и миллиарды световых лет, можно ли поручиться, что она не приобретёт кривизны? Если приобретёт, то наши прямые ("прямые Лобачевского") не встретятся. Так, предполагая возможность применения своей геометрии "за пределами видимого мира" Лобачевский смог заглянуть в беспредельные дали.
