Показателен и пример выдающегося впоследствии физика и математика Карла Фридриха Гаусса, тогда ещё школьника. Как-то учителю понадобилось покинуть класс. Чтобы занять учеников на время своего отсутствия, он предложил им найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Не успел учитель открыть дверь, как маленький Гаусс, опередив его, сказал, что ему уже известен результат.
Так был открыт метод суммирования арифметических прогрессий более простой, чем прямое сложение. Основанием же метода стал известный и во времена Гаусса эффективный алгоритм умножения “в столбик”. Не будь этого алгоритма, открытие Гаусса не имело бы большого смысла.
Известно, что всякое умножение чисел сводится к их суммированию. Но заслуга Гаусса в том, что он применил умножение для вычисления суммы.
Ещё один достаточно пародоксальный пример связан с анализом. В классическом анализе справедливо равенство 1=0.999(9), которое принципиально неверно в нестандартном анализе, где 0.999(9)<1, а разница 1-0.9999(9) представляет собой бесконечно малое значение, т.е. число в смысле нестандартного анализа.
Правда, в нестандартный анализ подобные бесконечно малые числа вводятся аксиоматически. Причём совокупность аксиом такого анализа столь же непротиворечива, что и классического. Увы, и столь же неполна в смысле К. Гёделя.
Не ясна природа (да и само существование) трудной обратимости или вычислимости даже для конечных алгебраических структур (типа полей Э. Галуа), к которым теорема К.Гёделя, вроде бы, неприменима.
Непонятно и является ли обращение близкой к вырожденной матрицы труднообратимым преобразованием или нет. И это тогда, как взлом шифра часто приводит именно к таким матрицам, к тому же очень большого размера.
Ещё одна и, возможно, самая важная особенность подобных матриц в том, что они сами и им обратные состоят только из целых чисел (типично 0 и 1), а все операции производятся по модулю соответствующего числа (обычно 2). Иначе говоря, используется модульная арифметика. Проблема вырожденности и обратимости при этом принимает весьма специфическую форму, т.к. ошибки округления здесь полностью отсутствуют, а потому и само понятие обратимости принимает другой смысл.
О связи труднообратимых и трудноразрешимых задач говорит пример точных вычислений корней алгебраических уравнений со многими тысячами и даже десятками тысяч двоичных (или десятичных) знаков. Действительно, если мы умеем эффективно производить такие вычисления, то соответствующая последовательность бит может служить неплохой гаммой шифра. Трудоёмкость обратимости в этом случае связана с необходимостью перебора великого множества алгебраических уравнений с разнообразными коэффициентами в поисках использованного для зашифровывания.
