Почти одновременно с ним в столице обосновывается Альфред Рамбо, занявший должность профессора истории Парижского университета. Но Пуанкаре нечасто видится с бывшим лицейским преподавателем. Свое свободное время он делит между домашним очагом и наиболее близкими друзьями — Аппелем и Пикаром, которые в том же 1881 году вернулись в Париж после нескольких лет, проведенных в провинции. Все трое проделали традиционный путь в науку, который прошли до них многие известные французские математики, начиная с самого Огюстена Коши.
Отправным пунктом для большинства из них служило одно из двух ведущих учебных заведений страны: Политехническая школа или Нормальная школа. Лишь очень немногие из знаменитых французских математиков XIX века, буквально единицы, вышли из стен Сорбонны. Получив специальное образование, будущие знаменитости посвящали некоторый период своей жизни практической инженерной деятельности, как, например, О. Коши и К. Жордан, или преподаванию в провинциальных университетах, как Ш. Брио и Ж. Буке. Пуанкаре пришлось пройти и через то и через другое. Не избежал этой участи и Поль Аппель. Окончив Нормальную школу и защитив докторскую диссертацию, он некоторое время преподавал механику на Факультете наук в Дижоне. Их новый товарищ Эмиль Пикар, окончивший Нормальную школу двумя годами позже Аппеля, читал математический анализ в университете Тулузы[15].
Путь из провинции в столицу лежал через успех и признание в ученых кругах. У всех троих уже были несомненные заслуги перед отечественной наукой. В то время как Пуанкаре в упорном и поистине рыцарском соперничестве с немецкими математиками завоевывал фуксовы функции, Аппель сформулировал и доказал весьма важную теорему из теории дифференциальных уравнений высших порядков. В серии заметок и статей за 1880–1881 годы он применяет ее для решения общей проблемы преобразования линейных дифференциальных уравнений, связав этот вопрос с инвариантами, введенными для этих уравнений Лаггером в 1879 году. Инвариантно-групповой подход становится самым модным в математике, и Аппель не остался в стороне от этих наиболее современных и плодотворных методов. Двадцатидвухлетний Пикар прославился благодаря открытию двух замечательных теорем, заинтересовавших многих математиков не только во Франции, но и за рубежом. Используя введенное Эрмитом понятие модулярной функции, он смог с помощью этих теорем описать поведение функции в окрестности существенно особой точки. Завоеванный Пикаром и Аппелем авторитет позволяет им вести курсы в Нормальной школе среди других именитых преподавателей.
