Однако было настолько удобно допускать существование подобных чисел, что математики продолжали ими пользоваться. Для того чтобы подчеркнуть, насколько они на самом деле не верят в существование таких чисел, математики определили их как «мнимые числа» и для обозначения использовали «i». Они получили возможность составлять «комплексные числа» (или «трансцендентные функции», как определил их Юнг), используя комбинации «действительных» и «мнимых» чисел (например [3 - 5i]; [-6 + 2i] и т. п.).
Впоследствии, в начале XIX века, один из величайших математиков всех времен Карл-Фридрих Гаусс предложил геометрическую интерпретацию, которая сделала «мнимые числа» допустимыми. Вообразите две линии, расположенные под прямым углом одна к другой. Все числа, расположенные по горизонтали справа от точки пересечения двух линий, являются положительными (+ 1, + 2, + 3,...), все числа по левую сторону -отрицательными (—1,—2,—3, ...). Точка пересечения двух линий называется началом координат и имеет нулевое значение (0). Все числа, расположенные по вертикали справа от точки пересечения, являются положительными «мнимыми числами» (+ i, + 2i, + 3i, ...), все числа по левую сторону являются отрицательными «мнимыми числами» (- 1i, - 2i, - 3i, ...)
Любая точка на плоскости, отсеченной двумя прямыми, может быть отложена в зависимости от того, насколько далеко вправо или влево и насколько далеко вверх или вниз она находится. Так, точка, находящаяся на 2 единицы длины вправо от начала координат и на 2 единицы длины выше начала координат, может обозначаться единственно координатой (2, 2). Подобным образом (3, - 6) - это точка, отстоящая на три единицы вправо от начала координат и на 6 единиц вниз от начала координат. (3, — 6) означает не только эту конкретную точку на плоскости, но также математическое выражение (+ 3, - 60. Неожиданно выявилось, что математические задачи, включающие в себя «комплексные числа», можно просто описать путем изображения различных геометрических фигур на плоскости.
Если все вышеизложенное кажется вам малопонятным, могу добавить, что та же самая система используется для обозначения адресов в крупных городах, например «524 Ист 87-я Стрит». Улицы проходят под прямым углом одна к другой и нумеруются в каждом из направлений. Расположение любого дома можно точно указать с помощью двух чисел ~ пронумерованного названия улицы («Ист 87-я Стрит») и адреса улицы (524)4 Ну ладно, довольно математики. Посмотрим, не проливает ли эта математическая история свет на психологическую концепцию Юнга, касающуюся трансцендентной функции. Сначала, когда «мнимые числа» возникли в решениях уравнений, математики проигнорировали их как невозможные. Однако постепенно они стали пользоваться этими числами и даже выработали систему символов для их использования, но все еще называли эти числа «мнимыми», как бы с некоторой долей презрения. Тем не менее математики пожелали скомбинировать числа «действительные» и «мнимые» для образования «комплексных чисел» (или «трансцендентных функций», как описывал их Юнг). И наконец, Гаусс осознал, что математики воздвигли ненужные барьеры, ограничивая свои ассоциации рядом положительных и отрицательных чисел. Он перенес предмет рассмотрения в иную плоскость, и комплексные числа превратились в простые обозначения размещения объектов на плоскости.
