В математике мы начинаем с довольно простых предложений, которые, как мы убеждены, доступны для нашего понимания, и далее, посредством правил вывода, которые, как мы также убеждены, доступны для нашего понимания, строим все более и более сложные символические предложения, которые, если наши исходные положения истинны, должны быть истинными, что бы они ни значили. Как правило, необходимо знать, что они «значат», если их «значение» принимается за мысль, которая могла бы прийти в голову математическому гению, обладающему сверхчеловеческими способностями. Но существует и другой вид «значения», на который опирается прагматизм и инструментализм. Согласно тем, кто принимает этот вид «значения», роль сложного математического предложения состоит в том, чтобы давать правило для практических действий в определенных случаях. Возьмем, например, вышеприведенное положение об отношении длины окружности круга к его диаметру. Допустим, что вы пивовар и что вам нужны обручи определенного диаметра для ваших пивных бочек. В этом случае положение об отношении окружности к диаметру дает вам правило, при помощи которого вы можете рассчитать, сколько вам понадобится материала для обручей. Это правило состоит из нового суждения о каждой десятичной доле, и нет поэтому необходимости стремиться к пониманию его значения в целом. Автономия языка позволяет вам воздерживаться от скучного процесса истолкования, за исключением особых критических моментов.
Имеются два других очень важных употребления языка: он дает нам возможность вести наши дела с внешним миром посредством знаков (символов), которые имеют (1) определенную степень постоянства во времени и (2) значительную степень дискретности в пространстве. Каждое из этих достоинств больше проявляется в письме, чем в устной речи, но никоим образом не отсутствует полностью и в ней. Допустим, что вашего друга зовут мистер Джоунз. Его очертания с физической точки зрения довольно неопределенны как потому, что он непрерывно теряет и приобретает электроны, так и потому, что каждый электрон, имея распределение по энергии, не имеет резкой границы на определенном расстоянии от своего центра. Поэтому внешние очертания мистера Джоунза имеют в себе нечто призрачно-неосязаемое, что никак не ассоциируется с видимой плотностью вашего друга. Нет никакой необходимости вдаваться в тонкости теоретической физики, для того чтобы показать, что мистер Джоунз есть некая печальная неопределенность. Когда он стрижет свои ногти, то в этом процессе есть определенный, хотя и короткий, период времени, когда нельзя сказать, продолжают ли еще обрезки его ногтей быть частью его самого или уже нет. Когда он кушает баранью котлету, то можно ли точно установить момент, когда котлета становится частью его самого? Когда он выдыхает углекислый газ, то является ли этот последний частью его самого, пока он не выйдет из его ноздрей? Даже если мы дадим на этот вопрос утвердительный ответ, все же окажется, что есть такой период времени, в течение которого остается неясным, прошли определенные молекулы газа через его ноздри или еще нет. Так или иначе, все же остается неясным, что еще является частью мистера Джоунза, а что уже не является. Так обстоит дело с пространственной неопределенностью.
