Глава XIII: Блуп, Флуп и Глуп. Это названия трех компьютерных языков. Программы Блупа могут осуществлять только предсказуемо конечный поиск, в то время как программы Флупа способны на непредсказуемый или даже бесконечный поиск. В этой главе я стараюсь объяснить понятие примитивно рекурсивных и общерекурсивных функций в теории чисел, поскольку они очень важны для доказательства Теоремы Гёделя.
Ария в ключе G. В этом Диалоге словесно отражена автореферентная конструкция Гёделя. Эта идея принадлежит У. Я. О. Квайну. Диалог служит прототипом следующей главы.
Глава XIV: О формально неразрешимых суждениях ТТЧ и родственных систем. Название этой главы — адаптация заглавия статьи Гёделя 1931 года, где впервые появилась его теорема о неполноте. Тщательно рассматриваются две основные части доказательства. Показано, как из предположения о непротиворечивости ТТЧ вытекает то, что она (или любая похожая система) неполна. Обсуждаются отношения ТТЧ к эвклидовой и неэвклидовой геометрии, и значение теоремы Гёделя для философии математики.
Праздничная кантатата… В которой Ахилл не может убедить скептически настроенную Черепаху в том, что сегодня его день рождения. Его повторные неудачные попытки предвосхищают повторяемость Гёделева аргумента.
Глава XV: Прыжок из системы. Обсуждается повторяемость Гёделева аргумента, из чего вытекает, что ТТЧ не только неполна, но и в принципе непополнима. Анализируется и опровергается интересный аргумент Лукаса, использующего Теорему Гёделя для доказательства того, что человеческая мысль не может быть механизирована.
Благочестивые размышления курильщика табака. В этом Диалоге затрагиваются многие темы, относящиеся к автореферентности и самовоспроизводству. Среди примеров — телевизионные камеры, снимающие сами себя, а также вирусы (и другие подклеточные существа), способные на самосборку. Название Диалога происходит из стихотворения самого Баха, которое цитируется в тексте.
Глава XVI: Авто-реф и Авто-реп. В этой главе обсуждается связь между разными типами автореференции и самовоспроизводящимися объектами (такими, как компьютерные программы или молекулы ДНК). Объясняются отношения между самовоспроизводящимся объектом и внешними механизмами, помогающими этому воспроизводству; особое внимание уделяется отсутствию между ними четкой границы. Тема этой главы — передача информации между различными уровнями подобных систем.
Магнификраб в пирожоре. Это название — игра слов; имеется в виду Баховский «Magnificat в ре-мажоре». Речь идет о Крабе, который, по-видимости, обладает магической способностью различать между истиннными и ложными высказываниями теории чисел. Читая их как музыкальные пьесы, он проигрывает их на флейте и определяет, «красивы» ли они.
