10,
k=2 (см. табл. 3 и 4, строки 3, 4, 5) наблюдалось уменьшение числа химер с ростом валентности, однако часть химер, удаленных от ближайшего эталона на расстояние 2 сохранялась. Сеть правильно декодировала более 50% сигналов. Таким образом при малых размерностях и кодах, далеких от совершенных, тензорная сеть работает довольно плохо. Однако, уже при
n=15,
k=3 и валентности, большей 3 (см. табл. 3 и 4, строки 6, 7), сеть правильно декодировала все сигналы с тремя ошибками. В большинстве экспериментов число эталонов было больше числа нейронов.
Таблица 4. Результаты численного эксперимента
| № | Число химер, удаленных от ближайшего эталона на: | Число неверно распознанных векторов, удаленных от ближайшего эталона на: |
|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
| 1 | 640 | 256 | 0 | 0 | 0 | 896 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 384 | 0 | 0 | 0 | 0 | 384 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 210 | 50 | 0 | 0 | 0 | 210 | 290 | 60 | 0 |
| 4 | 0 | 180 | 50 | 0 | 0 | 0 | 180 | 290 | 60 | 0 |
| 5 | 0 | 88 | 50 | 2 | 0 | 0 | 156 | 290 | 60 | 0 |
| 6 | 0 | 0 | 1120 | 13440 | 896 | 0 | 0 | 1120 | 13440 | 896 |
| 7 | 0 | 0 | 0 | 13440 | 896 | 0 | 0 | 0 | 13440 | 896 |
Подводя итог можно сказать, что качество работы сети возрастает с ростом размерности пространства и валентности и по эффективности устранения ошибок сеть приближается к коду, гарантированно исправляющему ошибки.
В данном разделе приведено доказательство теоремы о числе линейно независимых образов в пространстве k-х тензорных степеней эталонов.
При построении тензорных сетей используются тензоры валентности k следующего вида:
(13)
где a>j — n-мерные вектора над полем действительных чисел.
Если все вектора a>i=a, то будем говорить о k-й тензорной степени вектора a, и использовать обозначение a>⊗k. Для дальнейшего важны следующие элементарные свойства тензоров вида (13).
1. Пусть и , тогда скалярное произведение этих векторов может быть вычислено по формуле
(14)
Доказательство этого свойства следует непосредственно из свойств тензоров общего вида.
2. Если в условиях свойства 1 вектора являются тензорными степенями, то скалярное произведение имеет вид:
(15)
Доказательство непосредственно вытекает из свойства 1.
3. Если вектора a и b ортогональны, то есть (a,b) = 0, то и их тензорные степени любой положительной валентности ортогональны.
Доказательство вытекает из свойства 2.
4. Если вектора a и b коллинеарны, то есть b = λa, то a>⊗k=λ>ka>⊗k.
Следствие. Если множество векторов содержит хотя бы одну пару противоположно направленных векторов, то система векторов будет линейно зависимой при любой валентности k.
5. Применение к множеству векторов невырожденного линейного преобразования B в пространстве R>n эквивалентно применению к множеству векторов
