Так что остается вдохнуть и выдохнуть — и все же одним учить определение предела, а другим — его (по возможности доходчиво) преподавать.
Есть предел последовательности, есть функции. Аргумент функции может стремиться к некоторому числу слева, справа или с обеих сторон, а может — к ±оо (плюс-минус бесконечности). Значение — к конечному или бесконечному пределу. Если различать +<» и -» (а формулы их различают), мы получим только в случае функций 15 конкретных определений предела. Понятно, что заучить их без понимания — непосильный труд. Они во многом однотипны; надо усвоить их внутреннюю логику.
Сложность для студента представляют три квантора, всегда идущие в одном порядке:
∀… ∃… ∀… (для любого ... существует ... для любого)
Возникает естественная идея: а что если исходить не из содержания каждого отдельного квантора, а из самой идеи их чередования? Пусть их будет вообще много:
∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…∀… ∃…
На что это похоже?
Представим себе игру на двоих типа шахмат (чередование ходов), но для простоты — без возможности ничейного исхода. То есть неминуем мат белым (МБ) или мат черным (МЧ). Тогда нетрудно заметить, что из данной позиции мат черным в три хода записывается такой формулой (где б(к); ч(к) — соответственно к-е ходы белых и черных):
∃ б(1) ∀ ч(1) ∃б(2) ∀ ч(2) ∃б(3) МЧ
(Опять по-русски: Есть такой первый ход белых, что на любой ответ черных найдется — естественно, не универсальный, а зависящий от этого ответа второй ход белых, такой, что на любой ответ черных третьим ходом — белые ставят мат.)
Мат же белым предполагает другое начало — с квантора всеобщности: как бы ни пошли белые, они обречены.
Наша игра «предел» предполагает три хода — белых, черных и белых, потом — сверку полученного результата и
непременный выигрыш черных.
Вот как выглядит сходимость последовательности к 5 (исходная формула):
Первый играющий называет значение числа е. Например, 0,000000001.
Второй, подумав, выдает N = 16573. Первый вправе назвать любое число больше N. Он называет 16585.
Идет сверка. И х(16585) — 5 оказывается меньше 0,000000001.
Первый расплачивается. Азарт толкает его на повторение эксперимента. Теперь он выдвигает и вовсе микроскопическое s = 0,000000000000000000000000000000000000001.
Второй, подумав, выдает N=178539763. И, вне зависимости от следующего декоративного хода Первого, Второй выигрывает по итогам сверки.
Если Первый — не клинический идиот и не чересчур богат, после получаса игры он понимает две вещи:
