Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить далѣе въ глубь вѣковъ, тѣмъ болѣе, что у насъ нѣтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случаѣ не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затѣмъ, благодаря практикѣ, начинаетъ выдѣляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дѣйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Всѣ эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблицѣ умноженія и выдѣлили окончательно дѣйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дѣйствія, сначала въ грубой и несовершенной формѣ, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измѣненіями цифръ; сложеніе отдѣльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмѣстѣ съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже всѣ произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и всѣ цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ умѣ ничего не удерживалось: такъ, по крайней мѣрѣ, было въ Западной Европѣ въ средніе вѣка. Ближе къ нашему времени стали примѣнять и устный счетъ, начали помогать письму тѣмъ, что нѣкоторыя цифры удерживали въ умѣ, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдѣлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.
23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дѣтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школѣ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дѣтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.
