Совершенно независимо от этого развивалась математика пространственной решетки; она определяла отдельную решетку не пространственным распределением изображаемых ею физических образований, а посредством допустимых для нее операций суперпозиции. Так, Мориц Людвиг Франкенгейм (1801-1869) поставил следующий вопрос в 1835 и 1856 гг.: соответствуют ли все геометрически возможные виды пространственных решеток симметриям, наблюдаемым у кристаллов? Уже до его второй работы, а именно в 1850 г., Огюст Бравэ (1811-1863) вывел 14 по его имени названных пространственных решеток, которые могли быть образованы только путем переносов одной ячейки (без помощи других операций). Эти чисто геометрические работы по теории групп обобщил в 1879 г. Леонард Зонке (1842-1897) благодаря введению других операций и получил таким образом 65 различных пространственных групп. Полное решение этой математической проблемы, установление и перечисление всех геометрически возможных пространственных групп совершили кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1853-1919) и математик Артур Шенфлис (1853-1928). Оба установили
в 1891 г., независимо друг от друга и совершенно различными путями, 230 пространственных групп.
Сначала эти исследования не оказывали никакого влияния на физику, потому что гипотеза пространственной решетки не обосновывалась какими-либо физическими явлениями. Среди немногих физиков, которые вообще интересовались учением о кристаллах, некоторые защищали противоположное представление о том, что в кристаллах, как во всяком веществе, центры тяжести молекул распределены беспорядочно и анизотропия порождается исключительно параллельной ориентацией привилегированных направлений молекул. В минералогии также мало занимались этой гипотезой. Только Пауль Грот (1843-1927) поддерживал традицию Зонке в своей преподавательской деятельности в Мюнхене. Победу этой гипотезе доставили в 1912 г. опыты В. Фридриха и Пауля Книппинга (1883-1935), которые, согласно высказанному М. Лауэ предсказанию, обнаружили явления интерференции рентгеновских лучей, вызываемые пространственной решеткой кристаллов. Благодаря своей весьма малой длине волны эти лучи дают возможность определить расстояния между атомами в решетке, которые не могут быть определены с помощью лучей, имеющих длину волны видимого света. В этих опытах было также дано первое решающее доказательство волновой природы рентгеновских лучей, которую до тех пор некоторые выдающиеся исследователи отрицали из-за особенно бросающихся в глаза квантовых явлений у этих лучей (гл. 14). Теория этого явления, которую сразу же после первых сообщений о результатах опыта дал М. Лауэ, сумевший количественно подтвердить ее, явилась обобщением теории, предложенной Швердом (гл. 4) в 1835 г. для оптической решетки. Сначала теория Лауэ оспаривалась некоторыми физиками, но недолго, так как несколько резких максимумов интерференции рентгеновских лучей слишком ясно напоминали оптические спектры решетки. Хотя эта теория является только приближением, она чем дальше, тем больше становится
