Базы данных | страница 64

Необходимо отметить, что посылки и заключения, приведенные ранее, были представлены в сокращенной форме обозначениями схем функциональной зависимости. В расширенной форме им соответствуют следующие ограничения функциональных зависимостей.

Правило вывода 1. inv r(S);

Правило вывода 2. inv r(S) ⇒ inv r(S);

Правило вывода 3. inv r(S) & inv r(S) ⇒ inv r(S);

Проведем доказательства этих правил вывода.

1. Доказательство правила рефлексивности следует непосредственно из определения ограничения функциональной зависимости при подстановке вместо подсхемы Y – подсхемы X.

Действительно, возьмем ограничение функциональной зависимости:

Inv r(S) и подставим в него X вместо Y, получим:

Inv r(S), а это и есть правило рефлексивности.

Правило рефлексивности доказано.

2. Доказательство правила пополнения проиллюстрируем на диаграммах функциональной зависимости.

Первая диаграмма – это диаграмма посылки:

посылка: X → Y

Вторая диаграмма:

заключение: X ∪ Z → Y

Пусть кортежи равны на X ∪ Z. Тогда они равны на X. Согласно посылке они будут равны и на Y.

Правило пополнения доказано.

3. Доказательство правила псевдотранзитивности также проиллюстрируем на диаграммах, которых в этом конкретном случае будет три.

Первая диаграмма – первая посылка:

посылка 1: X → Y

посылка 2: Y ∪ W → Z

И, наконец, третья диаграмма – диаграмма заключения:

заключение: X ∪ W → Z

Пусть кортежи равны на X ∪ W. Тогда они равны и на X, и на W. Согласно Посылке 1, они будут равны и на Y. Отсюда, согласно Посылке 2, они будут равны и на Z.

Правило псевдотранзитивности доказано.

Все правила доказаны.

Другим примером правил, с помощью которых можно, при необходимости вывести новые правила функциональной зависимости, являются так называемые производные правила вывода.

Что это за правила, как они получаются?

Известно, что если из одних правил, уже существующих, законными логическими методами вывести другие, то эти новые правила, называемые производными, можно использовать наряду с исходными правилами.

Необходимо специально отметить, что эти самые произвольные правила являются «производными» именно от пройденных нами ранее правил вывода Армстронга.

Сформулируем производные правила вывода функциональных зависимостей в виде следующей теоремы.

Теорема.

Следующие правила являются производными от правил вывода Армстронга.

Правило вывода 1.